DU MOUVEMENT DES CORPS

LIVRE PREMIER

SECTION PREMIERE

De la méthode des premières et dernières raisons employée dans tout cet Ouvrage.

LEMME PREMIER.
Les quantités et les raisons des quantités qui tendent continuellement à devenir égales pendant un temps fini, et qui avant la fin de ce temps approchent tellement de l’égalité, que leur différence est plus petite qu’aucune différence donnée, deviennent à la fin égales.
Si on le nie, qu’on suppose qu’elles soient à la fin inégales, et que leur dernière différence soit D, puisqu’elles ne peuvent pas approcher plus près de l’égalité que de cette différence donnée D, leur différence ne sera donc pas plus petite que toute différence donnée, ce qui est contre l’hypothèse.

LEMME II.
Si dans une figure quelconque AacE, comprise entre les droites Aa, AE, et la courbe acE, on inscrit un nombre quelconque de Parallélogrammes Ab, Bc, Cd, etc. compris sous les bases égales AB, BC, CD, etc. et sous les côtés Bb, Cc, Dd, etc. parallèles au côté Aa, de la figure ; et qu’on achevé les parallélogrammes akbl, bLcm, cMdn, etc. qu’on diminue ensuite la largeur de ces parallélogrammes, et qu’on augmente leur nombre à l’infini : les dernières raisons qu’auront entre elles la figure inscrite AKbLcMdD, la circonscrite AalbmcndoE, et la curviligne AabcdE, seront des raisons d’égalité.
(Fig. 6)
Car la différence de la figure inscrite et de la figure circonscrite, est la somme des parallélogrammes Kl, Lm, Mn, Do, c’est-à-dire (à cause de l’égalité de toutes les bases) que cette différence est égale au rectangle ABla fait sur l’une des bases Kb et sur la somme Aa, de toutes les hauteurs ; mais ce rectangle, à cause que sa largeur diminue à l’infini, deviendra plus petit qu’aucun rectangle donné. Donc (par le Lemme premier) la figure inscrite, la figure circonscrite, et à plus forte raison la figure curviligne intermédiaire seront à la fin égales. — C.Q.F.D.

LEMME III.
Les dernières raisons de ces mêmes figures seront encore des raisons d’égalité, quoique les bases AB, BC, CD, etc. des parallélogrammes soient inégales, pourvu quelles diminuent toutes à l’infini.
(Fig. 6)
Soit AF la plus large de ces bases, et soit achevé le parallélogramme FAaf. Ce parallélogramme sera plus grand que la différence de la figure inscrite et de la figure circonscrite, mais sa largeur AF diminuant à l’infini, il sera plus petit qu’aucun rectangle donné. Donc etc. — C.Q.F.D.
Cor. 1. D’où il suit que la dernière somme de tous les parallélogrammes qui s’évanouissent coïncidera dans toutes ses parties avec la figure curviligne.
Cor. 2. Et à plus forte raison la figure rectiligne, comprise sous les cordes des arcs évanouissants ab, bc, cd, etc, coïncidera à la fin avec la figure curviligne.
Cor. 3. Il en sera de même de la figure rectiligne circonscrite qui est comprise sous les tangentes de ces mêmes arcs.
Cor. 4. Et par conséquent, ces dernières figures (quant à leurs périmètres acE) ne sont pas rectilignes, mais les limites curvilignes des figures rectilignes.

LEMME IV.
Si dans deux figures AacE, PprT, on inscrit, comme ci-dessus, deux suites de parallélogrammes, dont le nombre soit le même, et que lorsque leurs largeurs diminuent à l’infini, les dernières raisons des parallélogrammes de l’une des figures aux parallélogrammes de l’autre, chacun à chacun, soient les mêmes, ces deux figures AacE, PprT seront entre elles dans cette même raison.
(Fig. 7 & 8)
Car la proportion qu’un des parallélogrammes de la première figure a avec celui qui lui répond dans la seconde, est la même que celle de la somme de tous les parallélogrammes de la première figure, à la somme de tous les parallélogrammes de la seconde, et par conséquent la même que celle qui est entre les deux figures, en supposant toutefois, que, selon le Lemme 3. la raison de la première figure à la somme de tous les parallélogrammes qu’elle renferme, soit une raison d’égalité, aussi bien que celle de la seconde figure à la somme de tous les Parallélogrammes qui y sont renfermés. — C.Q.F.D.
Cor. D’où il suit, que si deux quantités d’un genre quelconque sont partagées dans un même nombre de parties quelconques, et que ces parties, lorsque leur nombre augmente et que leur grandeur diminue à l’infini, soient entre elles en raison donnée, la première à la première, la seconde à la seconde, et ainsi de suite : les touts seront entre eux dans cette même raison donnée ; car si on représente les parties de ces touts par les parallélogrammes des figures de ce Lemme, les sommes de ces parties seront comme les sommes des parallélogrammes ; et par conséquent, lorsque le nombre de ces parties et des Parallélogrammes augmente, et que leur grandeur diminue à l’infini, les touts feront dans la dernière raison d’un Parallélogramme à l’autre : c’est-à-dire, par l’hypothèse, dans la dernière raison d’une partie à l’autre.

LEMME V.
Tous les côtés homologues des figures semblables sont proportionnels, tant dans les figures curvilignes que dans les rectilignes, et leurs aires sont en raison doublées de ces côtés.

LEMME VI.
Si un arc de cercle quelconque ACB donné de position, est soutenu par la corde AB, et qu’au point A placé dans le milieu de sa courbure continue, il soit touché par une droite AD prolongée des deux côtés, et que les points A et B s’approchent l’un de l’autre jusqu’à ce qu’ils coïncident ; l’angle BAD, compris sous la tangente et la corde diminuera à l’infini, et s’évanouira à la fin.
(Fig. 9)
Car si cet angle ne s’évanouissait pas, l’arc ACB et la tangente AD contiendraient un angle rectiligne, et par conséquent la courbure au point A ne serait point continue, ce qui est contre l’hypothèse.

LEMME VII.
Les mêmes choses étant posées, la dernière raison qu’ont entre elles l’arc, la corde et la tangente, est la raison d’égalité.
Car pendant que le point B s’approche du point A, supposons que les lignes AB, AD soient prolongées jusqu’aux points éloignés b et d, et qu’on mène la ligne bd parallèle à la sécante BD, et qu’on prenne de plus Acb toujours semblable à l’arc ACB. Lorsque les points A et B coïncideront, l’angle dAb s’évanouira par le Lemme précédent ; donc les droites Ab, Ad, qui restent toujours de grandeur finie, et l’arc intermédiaire Acb coïncideront et seront par conséquent égales. Donc les droites AB, AD, et l’arc intermédiaire ACB, qui leur sont toujours proportionnels, s’évanouiront, et auront pour dernière raison la raison d’égalité. — C.Q.F.D.
(Fig. 10)
Cor. 1. Ainsi, si par B on mène une droite BF parallèle à la tangente AD, laquelle BF coupe toujours en F une ligne quelconque AF qui passe par A, la raison de cette droite BF à l’arc évanouissant ACB, sera à la fin la raison d’égalité, puis qu’achevant le parallélogramme AFBD, cette raison est la même que celle qu’à la droite AD avec le même arc ACB.
Cor. 2. Et si par B et par A on tire plusieurs droites BE, BD, AF, AG, qui coupent la tangente AD et sa parallèle BF, la dernière raison de l’arc AB de la corde et de toutes les parties coupées AD, AF, BF, BG entre elles sera la raison d’égalité.
Cor. 3. Et par conséquent toutes ces lignes pourront être prises l’une pour l’autre dans tous les cas où l’on se servira de la méthode des premières et dernières raisons.

LEMME VIII.
Si les droites données AR, BR, l’arc ACB, la corde AB, et la tangente AD, forment trois triangles RAB, RACB, RAD, et que les points A et B s’approchent l’un de l’autre : ces triangles, qui s’évanouiront, seront à la fin semblables, et leur dernière raison sera la raison d’égalité.
(Fig. 9)
Pendant que B s’approche de A, imaginons qu’on prolonge AB, AD, AR, en b, d, r, qu’on mène rbd parallèle à RD, et qu’on prenne l’arc Acb toujours semblable à l’arc ACB, lorsque les points A et B coïncideront, l’angle bAd s’évanouira, et les trois triangles rAb, rAcb, rAd, qui restent toujours de grandeur finie coïncideront, et seront par conséquent égaux et semblables. Donc les triangles RAB, RACB, RAD, qui leur sont toujours semblables et proportionnels, seront à la fin égaux et semblables entre eux. — C.Q.F.D.
Cor. Donc ces triangles pourront être pris l’un pour l’autre dans tous les cas où l’on emploiera la méthode des premières et dernières raisons.

LEMME IX.
Soient données de position la droite AE et la courbe ABC, qui se coupent sous un angle donné A, et soient menées de cette droite sous un autre angle donné les ordonnées BD, CE, qui rencontrent la courbe en B, et en C, si on suppose ensuite que les points B et C s’approchent l’un et l’autre continuellement du point A ; les aires des triangles ABD, ACE, seront à la fin entre elles en raison doublée des côtés.
(Fig. 11)
Pendant que les points B et C s’approchent du point A, imaginons toujours que la ligne AD soit prolongée à des points très éloignés d et e, et en telle sorte que Ad et Ae soient toujours proportionnelles à AD et à AF, de plus que les ordonnées db, ec, tirées parallèles aux ordonnées DB, EC, rencontrent en b et c les lignes AB, AC prolongées ; enfin que Abc soit une courbe semblable à ABC et Ag, une droite qui touche les deux courbes en A, et coupe les ordonnées DB, EC, db, ec, en F, G, f, g. Cela posé, lorsque les points B et C coïncideront avec le point A, la longueur Ae restant la même, l’angle cAg s’évanouira, les aires curvilignes Abd, Ace coïncideront avec les aires rectilignes Afd, Age, et par conséquent elles seront (par le Lemme 5.) en raison doublée des côtés Ad, Ae ; mais les aires ABD, ACE sont toujours proportionnelles à ces aires, et les côtés AD, AE à ces côtés. Donc les aires ABD, ACE sont à la fin en raison doublée des côtés AD, AE. — C.Q.F.D.

LEMME X.
Les espaces qu’une force finie fait parcourir au corps quelle presse, soit que cette force soit déterminée et immuable, soit quelle augmente ou diminue continuellement, sont dans le commencement du mouvement en raison doublée des temps.
Que les lignes AD, AE représentent les temps, et les ordonnées DB, EC les vitesses produites ; les espaces décrits avec ces vitesses seront comme les aires ABD, ACE qui auraient été décrites par la fluxion de ces ordonnées, c’est-à-dire (par le Lemme 9) que ces espaces seront dans le commencement du mouvement en raison doublée des temps AD, AE. — C.Q.F.D.
Cor. 1. De là on tire aisément, que lorsque des corps qui parcourraient dans des temps proportionnels des parties semblables de figures semblables, sont sollicités par de nouvelles forces quelconques égales et appliquées de la même manière, les déviations causées par ces forces, c’est-à-dire, les distances des points où les corps sont arrivés réellement aux points où ils seraient arrivés sans l’action de ces forces, sont entre elles à peu près comme les carrés des temps dans lesquels ces déviations ont été produites.
Cor. 2. Et les déviations causées par des forces proportionnelles et appliquées de même aux parties semblables de figures semblables, sont en raison composée des forces et des carrés des temps.
Cor. 3. Il en est de même des espaces quelconques que les corps pressés par des forces diverses décrivent. Ces espaces sont encore dans le commencement du mouvement, comme les forces multipliées par les carrés des temps.
Cor. 4. Donc, dans le commencement du mouvement, les forces sont comme les espaces décrits directement, et inversement comme les carrés des temps.
Cor. 5. Et les carrés des temps sont comme les espaces décrits directement, et inversement comme les forces.

SCHOLIE.
Lorsqu’on compare des quantités indéterminées de différent genre, et qu’on dit que l’une d’elles est en raison directe ou inverse d’une autre : on entend par-là que la première augmente ou diminue dans la même raison que la dernière, ou dans la raison inverse ; et lorsqu’on dit qu’une quantité est directement ou inversement, comme plusieurs de ces quantités, cela signifie qu’elle augmente ou diminue en raison composée des raisons dans lesquelles ces autres quantités augmentent ou diminuent, ou dans la raison composée des raisons renversées de ces raisons. Si on dit, par exemple, que A est directement comme B et comme C, et inversement comme D : cela veut dire que A augmentera, ou diminuera en même raison que ou que les quantités A et sont entre elles en raison donnée.

LEMME XI.
Dans toutes les courbes qui ont une courbure finie au point de contact, la sous-tendante évanouissante d’un angle de contact est à la fin en raison doublée de la sous-tendante de l’arc qu’elle termine.
(Fig. 12)
Cas 1. Soient AbB cet arc, AD sa tangente, SD la sous-tendante de l’angle de contact, laquelle est perpendiculaire à la tangente, et AB la sous-tendante de l’arc. Soient ensuite AG et BG perpendiculaires à AD et à AB, et soit G la rencontre de ces perpendiculaires. Cela posé, imaginons que les points D, B, G, deviennent les points d, b, g, et que le point I soit la dernière intersection des lignes AG, BG, lorsque les points B et D sont arrivés en A, il est clair que la distance GI peut être moindre qu’aucune distance assignable ; mais à cause qu’on peut faire passer des cercles par les points A, B, G, et par les points A, b, g, on a et ; donc AB2 est à Ab2 en raison composée des raisons de AG, à Ag et de BD à bd. Mais comme on peut supposer la distance GI plus petite qu’aucune longueur assignable, la différence entre la raison de AG à Ag et la raison d’égalité peut être moindre qu’aucune différence assignable, donc la différence de la raison de Ab2 à AB2 à la raison de BD à bd, peut être moindre que toute différence assignable. Donc (par le Lemme 1) la dernière raison de AB2 à Ab2 sera la même que la dernière raison de BD à bd. — C.Q.F.D.
Cas 2. Supposé que BD soit incliné sur AD, selon un angle quelconque donné, la dernière raison de BD à bd restera toujours la même, et sera, par conséquent la même que la raison de AB2 à Ab2. — C.Q.F.D.
Cas 3. Quand même l’angle D ne serait point donné, et que la droite BD convergera vers un point donné, ou qu’elle sera tirée suivant une loi quelconque ; les angles D et d, formés selon la même loi, tendront toujours à devenir égaux, et à la fin leur différence deviendra moindre que toute différence donnée, c’est-à-dire, (par le Lemme 1) qu’ils seraient égaux à la fin, et par conséquent les lignes BD, bd seraient entre elles dans la même raison qu’auparavant. — C.Q.F.D.
Cor. 1. Comme les tangentes AD, Ad, les arcs AB, Ab, et leurs sinus BC, bc deviennent à la fin égaux aux cordes AB, Ab, leurs carrés sont aussi à la fin comme les sous-tendantes BD, bd.
Cor. 2. Et ces carrés seront aussi entre eux à la fin comme les flèches des arcs, lesquelles coupent les cordes en deux parties égales, et convergent vers un point donné ; car ces flèches sont comme les sous-tendantes BD, bd.
Cor. 3. Donc, lorsqu’un corps avec une vitesse donnée décrit un arc, la flèche de cet arc est en raison doublée du temps pendant lequel il est décrit.
Cor. 4. Les triangles rectilignes ADB, Adb sont à la fin en raison triplée des côtés AD, Ad, et en raison sesquiplée des côtés DB, db, puisqu’ils sont en raison composée des côtés AD, DB, et Ad, db, de même les triangles ABC, Abc, sont à la fin en raison triplée des côtés BC, bc. J’appelle raison sesquiplée la raison sous-doublée de la raison triplée, parce qu’elle est composée de la raison simple et de la raison sous-doublée.
Cor. 5. Comme DB, db deviennent à la fin parallèles, et en raison doublée de AD et de Ad, les dernières aires curvilignes ADB, Adb seront (par la nature de la parabole), les deux tiers des triangles rectilignes ABD, Abd ; et les segments AB, Ab, les tiers de ces mêmes triangles, et de là ces aires et ces segments seront en raison triplée, tant des tangentes AD, Ad, que des cordes et des arcs AB, Ab.

SCHOLIE.
Au reste, dans toutes ces démonstrations nous supposons que l’angle de contact n’est ni infiniment plus grand que les angles de contact contenus entre la tangente et la corde des cercles ; ni infiniment plus petit que ces mêmes angles, c’est-à-dire que nous supposons que la courbure au point A n’est ni infiniment petite, ni infiniment grande, mais que le rayon osculateur AI, est d’une grandeur finie ; car si on prenait DB proportionnelle à AD3, aucun cercle ne pourrait passer par le point A entre la tangente AD et la courbe AB ; et en ce cas l’angle de contact serait infiniment plus petit que les angles de contact circulaires ; et par le même raisonnement, si on fait successivement DB proportionnel à AD4, AD5, AD6, AD7, etc. on aura une série infinie d’angles de contact, dont chacun sera infiniment plus petit que celui qui le précède, et si l’on fait successivement BD proportionnelle à AD2, , , , , , etc. on aura une autre suite infinie d’angles de contact, dont le premier sera du même genre que les angles de contact circulaires ; le second sera infiniment plus grand ; le troisième infiniment plus grand que le second, et ainsi de suite. De plus, entre deux quelconque de ces angles on peut insérer une suite d’angles intermédiaire, laquelle sera infinie des deux côtés, et telle que chacun des angles qui la composeront sera infiniment plus grand, ou infiniment plus petit que celui qui le précède. Entre les termes AD2 et AD3 , par exemple, on peut insérer la série , , , , , , , , , etc. Enfin on pourra encore insérer entre deux angles quelconques de cette dernière série, une nouvelle série d’angles intermédiaires toujours infiniment plus grands les uns que les autres, car la nature ne connaît point de bornes.
Ce qu’on a démontré des lignes courbes et des superficies qu’elles renferment, peut s’appliquer facilement aux surfaces courbes des solides et aux solides mêmes. J’ai commencé par ces Lemmes ; pour éviter de déduire de longues démonstrations ad absurdum, selon la méthode des anciens Géomètres.
J’aurais eu des démonstrations plus courtes par la méthode des indivisibles ; mais parce que l’hypothèse des indivisibles me paraît trop dure à admettre, et que cette méthode est par conséquent peu géométrique, j’ai mieux aimé employer celle des premières et dernières raisons des quantités qui naissent et s’évanouissent, et j’ai commencé par faire voir, le plus brièvement que j’ai pu, ce que deviennent ces quantités, lorsqu’elles atteignent leurs limites. Je démontrerai par cette méthode tout ce qu’on démontre par celle des indivisibles ; mais en ayant prouvé le principe, je m’en servirai avec plus de sécurité.
Ainsi, lorsque dans la suite je considérerai des quantités comme composées de particules déterminées, et que je prendrai pour des lignes droites de petites portions de courbes ; je ne désignerai point par là des quantités indivisibles, mais des quantités divisibles évanouissantes, de même, ce que je dirai des sommes et des raisons, doit toujours s’entendre non des particules déterminées, mais des limites des sommes et des raisons des particules évanouissantes ; et pour sentir la force de mes démonstrations, il faudra toujours se rappeler la méthode que j’ai suivie dans les Lemmes précédents.
On peut dire, contre ce principe des premières et dernières raisons, que les quantités qui s’évanouissent n’ont point de dernière proportion entre elles ; parce qu’avant de s’évanouir, la proportion qu’elles ont n’est pas la dernière, et que lorsqu’elles sont évanouies, elles n’en ont plus aucune. Mais on pourrait soutenir par le même raisonnement qu’un corps qui parvient d’un mouvement uniformément retardé a un certain lieu où son mouvement s’éteint, n’a point de dernière vitesse ; car, dirait-on, avant que ce corps soit parvenu à ce lieu, il n’a pas encore la dernière vitesse, et quand il l’a atteint, il n’en a aucune, puisqu’alors son mouvement est éteint. Or, la réponse à cet argument est facile ; on doit entendre par la dernière vitesse de ce corps celle avec laquelle il se meut, non pas avant d’avoir atteint le lieu où son mouvement cesse, non pas après qu’il ait atteint ce lieu, mais celle qu’il a dans l’instant même qu’il atteint ce dernier lieu et avec laquelle son mouvement cesse. Il en est de même de la dernière raison des quantités évanouissantes, il faut entendre par cette raison celles qu’ont entre elles des quantités qui diminuent, non pas avant de s’évanouir, ni après qu’elles sont évanouies, mais celle qu’elles ont dans le moment même qu’elles s’évanouissent. De la même manière la première raison des quantités naissantes est celle que les quantités qui augmentent ont au moment qu’elles naissent, et la première ou dernière somme de ces quantités est celle qui répond au commencement ou à la fin de leur existence, c’est-à-dire, au moment qu’elles commencent à augmenter ou qu’elles cessent de diminuer.
Il y a une certaine borne que la vitesse d’un corps peut atteindre à la fin de son mouvement, et qu’elle ne saurait passer ; c’est cette vitesse qui est la dernière vitesse du corps. Il en est de même des limites et des proportions de toutes les quantités qui commencent et cessent. Comme cette limite est certaine et définie, c’est un problème très géométrique que de la déterminer ; car on peut regarder comme géométriques tous les problèmes où il s’agit de déterminer avec précision quelque quantité.
On objectera peut-être que si les dernières raisons qu’ont entre elles les quantités qui s’évanouissent sont données, les dernières grandeurs de ces quantités seront aussi données, et qu’ainsi toute quantité sera composée d’indivisibles, au contraire de ce qu’Euclide a démontré des incommensurables dans le dixième Livre de ses éléments. Mais cette objection porte sur une supposition fausse, car les dernières raisons qu’ont entre elles les quantités qui s’évanouissent ne sont pas en effet les raisons des dernières quantités, ou de quantités déterminées et indivisibles, mais les limites dont les raisons des quantités qui décroissent à l’infini approchent sans cesse, limites dont elles peuvent toujours approcher plus près que d’aucune différence donnée, qu’elles ne peuvent jamais passer, et qu’elles ne sauraient atteindre, si ce n’est dans l’infini.
On comprendra ceci plus clairement dans les quantités infiniment grandes. Si deux quantités, dont la différence est donnée, augmentent à l’infini, leur dernière raison sera donnée, et sera certainement la raison d’égalité, cependant les dernières, ou les plus grandes quantités auxquelles répond cette raison, ne seront point des quantités données. Donc, lorsque je me servirai dans la suite, pour être plus clair, des mots de quantités évanouissantes, de quantités dernières, de quantités très petites, il ne faut pas entendre par ces expressions des quantités d’une grandeur déterminée, mais toujours des quantités qui diminuent à l’infini.
Table des matières

Table des matières

SECONDE SECTION

De la recherche des forces centripètes.

PROPOSITION I. — THEOREME I.
Dans les mouvements curvilignes des corps, les aires décrites autour d’un centre immobile, sont dans un même plan immobile et sont proportionnelles au temps.
(Fig. 13)
Supposé que le temps soit divisé en parties égales, et que dans la première partie de ce temps, le corps, par la force qui lui a été imprimée, décrive la ligne AB : suivant la première loi du mouvement dans un second temps égal au premier, il décrirait, si rien ne l’en empêchait, la droite BC = AB ; donc en tirant au centre S, les rayons AS, BS, cS, les aires ASB, BSc seraient égales. Supposé que lorsque ce corps est arrivé en B, la force centripète agisse sur lui par un seul coup, mais assez puissant pour l’obliger à se détourner de la droite Bc et à suivre la droite BC. Si on tire la ligne Cc parallèle à BS, laquelle rencontre BC en C, à la fin de ce second temps, le corps (selon le Corollaire 1 des lois) sera en C dans le même plan que le triangle ASB.
En tirant ensuite la ligne SC, le triangle SBC sera égal au triangle SBc, à cause des parallèles SB, Cc, donc il sera aussi égal au triangle SAB.
De même, si la force centripète agit successivement sur le corps en C, D, E, etc. et qu’elle lui fasse décrire à chaque petite portion de temps les droites CD, DE, EF, etc. ces lignes seront toutes dans le même plan ; et le triangle SCD sera égal au triangle SBC, le triangle SDE au triangle SCD, et le triangle SEF au triangle SDE. Ce corps décrira donc en des temps égaux des aires égales dans un plan immobile ; et en composant, les sommes des aires quelconques SADS, SAFS, seront entre elles comme les temps employés à les décrire.
Qu’on imagine maintenant que le nombre des triangles augmente et que leur largeur diminue à l’infini, il est clair (par le Cor. 4 du Lemme 3) que leur dernier périmètre ADF sera une ligne courbe. Donc la force centripète, qui retire le corps à tout moment de la tangente de cette courbe, agit sans interruption, et les aires quelconques SADS, SAFS, qui étaient proportionnelles aux temps employés à les décrire, leur seront encore proportionnelles dans ce cas. — C.Q.F.D.
Cor. 1. La vitesse d’un corps attiré vers un centre immobile dans un espace non résistant, est réciproquement comme la perpendiculaire tirée de ce centre à la ligne qui touche la courbe au lieu où le corps se trouve ; car la vitesse de ce corps aux lieux A, B, C, D, E, est proportionnelle aux bases AB, BC, CD, DE, EF des triangles égaux, et ces bases sont entre elles en raison réciproque des perpendiculaires qui leur sont abaissées du centre.
Cor. 2. Si on fait un parallélogramme ABCV, sur les cordes AB, SC, de deux arcs successivement parcourus par le même corps en des temps égaux dans des espaces non résistants, et que la diagonale BV de ce parallélogramme ait la même position que celle qu’elle a à la fin, lorsque ces arcs diminuent à l’infini, cette diagonale prolongée passera par le centre des forces.
Cor. 3. Si on fait les parallélogrammes ABCV, DEFZ, sur les cordes AB, BC et DE, EF des arcs décrits en temps égaux dans des espaces non résistants, les forces en B et en E seront entre elles dans la dernière raison des diagonales BV, EZ, lorsque ces arcs diminueront à l’infini ; car les mouvements du corps, suivant les lignes BC et EF, sont composés (par le Corollaire des lois) des mouvements suivant les lignes Bc, BV et Ef, EZ : or, BV et EZ, qui sont égales à Cc, et à Ef, ont été parcourues par les impulsions de la force centripète en B et en E, selon ce qui a été démontré dans cette proposition ; donc elles sont proportionnelles à ces impulsions.
Cor. 4. Les forces par lesquelles les corps, qui se meuvent dans des espaces libres, sont détournés du mouvement rectiligne et contraints à décrire des courbes, sont entre elles comme les flèches des arcs évanouissants parcourus en temps égaux, et ces flèches convergent vers le centre des forces, et coupent les cordes des arcs évanouissants en deux parties égales ; car ces flèches sont la moitié des diagonales dont on vient de parler dans le Corol. 3.
Cor. 5. Ainsi ces mêmes forces sont à la force de la gravité, comme les flèches des arcs décrits sont aux flèches verticales des arcs paraboliques que les projectiles décrivent dans le même temps.
Cor. 6. Tout ce qui a été démontré jusqu’ici sera encore vrai, par le Cor. 5 des lois, lorsque les plans dans lesquels les corps se meuvent, et les centres des forces placés dans ces plans, au lieu d’être en repos, se mouvront uniformément en ligne droite.

PROPOSITION II. — THEOREME II.
La force centripète d’un corps qui se meut dans une ligne courbe décrite sur un plan, et qui parcourt autour d’un point immobile, ou mû uniformément en ligne droite, des aires proportionnelles au temps, tend nécessairement à ce point.
Cas 1. Tout corps qui se meut dans une courbe est détourné du mouvement rectiligne par une force qui agit sur lui, par la première loi ; et cette force qui contraint le corps à se détourner de la ligne droite, et à décrire en temps égaux les petits triangles égaux SAB, SBC, SCD, etc. autour du point immobile S, agit au lieu B suivant une ligne parallèle à cC, par la seconde loi, c’est-à-dire, suivant la ligne BS ; et au lieu C suivant une ligne parallèle à dD, c’est-à-dire suivant la ligne SC, etc. Elle agit donc toujours selon des lignes qui tendent à ce point immobile S. — C.Q.F.D.
Cas 2. Et par le Corol. 5 des lois, le mouvement du corps est le même, soit que la superficie dans laquelle s’exécute ce mouvement soit en repos, soit qu’elle se meuve uniformément en ligne droite en emportant avec elle le centre, la courbe décrite, et le corps décrivant.
Cor. 1. Dans les espaces ou milieux non résistants, si les aires ne sont pas proportionnelles au temps, les forces centripètes ne tendent pas au concours des rayons, mais elles déclinent vers le côté vers lequel le corps se meut si la description des aires est accélérée, et elles déclinent vers le côté opposé si elle est retardée.
Cor. 2. Dans les milieux résistants, si la description des aires est accélérée, les directions des forces déclinent aussi vers le côté vers lequel le mouvement du corps est dirigé.

SCHOLIE.
Le corps peut être animé par une force centripète composée de plusieurs forces. Dans ce cas, le sens de la Proposition précédente est que la force qui résulte de toutes les autres tend au point S. De plus, si quelque autre force agit continuellement selon une ligne perpendiculaire à la superficie décrite, le corps se détournera du plan de son mouvement, mais la quantité de la superficie décrite n’augmentera, ni ne diminuera, ainsi on peut la négliger dans la composition des forces.

PROPOSITION III. — THEOREME III.
Si un corps décrit autour d’un autre corps qui se meut d’une façon quelconque des aires proportionnelles au temps, la force qui anime le premier est composée d’une force qui tend vers le second, et de toute la force accélératrice par laquelle ce second corps est animé.
Soit le premier corps L et le second T : si une force nouvelle égale et contraire à celle qui agit sur le corps T, agit sur ces deux corps, selon des lignes parallèles, le premier corps L continuera, par le Corol. 6 des lois, à décrire autour du corps T les mêmes aires qu’auparavant, mais la force qui agissait sur le corps T sera détruite par cette nouvelle force qu’on a supposé lui être égale et contraire. Donc, par la première loi, ce corps T abandonné à lui-même demeurera en repos, ou se mouvra uniformément en ligne droite ; et le corps L, qui est animé alors par la différence de ces forces, c’est-à-dire par la force restante, continuera à décrire des aires proportionnelles au temps autour du corps T. Donc par le Théor. 2 la différence de ces forces tend vers le corps T comme à son centre. — C.Q.F.D.
Cor. 1. Il suit de là, que si un corps L décrit autour d’un autre corps des aires proportionnelles au temps, et que de la force totale qui presse le corps L, soit simple, soit composée de plusieurs forces, selon le Corol. 2 des lois, on soustrait toute la force accélératrice qui agit sur l’autre corps ; la force restante par laquelle le corps L est animé, tendra tout entière vers l’autre corps T comme centre.
Cor. 2. Et si ces aires ne s’éloignent pas beaucoup d’être proportionnelles au temps, la force restante sera à peu près dirigée vers le corps T.
Cor. 3. Et réciproquement, si la force restante tend à peu près vers le corps T, les aires seront à peu près proportionnelles au temps.
Cor. 4. Si le corps L décrit autour du corps T des aires qui s’éloignent beaucoup de la proportionnalité des temps, et que ce corps T soit en repos, ou qu’il se meuve uniformément en ligne droite, la force centripète qui tend vers ce corps est nulle, ou bien elle est mêlée et composée avec d’autres forces très puissantes ; et la force totale, composée de toutes ces forces, s’il y en a plusieurs, sera dirigée vers un autre centre mobile ou immobile. Il en est de même, lorsque le corps T se meut d’un mouvement quelconque, pourvu que l’on prenne pour force centripète celle qui reste après qu’on ait soustrait la force totale qui agit sur le corps T.

SCHOLIE.
Comme la description des aires égales en temps égaux marque que le corps qui décrit ces aires éprouve l’action d’une force qui agit sur lui, qui le retire du mouvement rectiligne, et qui le retient dans son orbite ; pourquoi ne prendrions-nous pas dans la suite cette description égale des aires pour l’indice d’un centre autour duquel se fait tout mouvement circulaire dans des espaces non résistants ?

PROPOSITION IV. — THEOREME IV.
Les corps qui parcourent uniformément différents cercles sont animés par des forces centripètes qui tendent au centre de ces cercles, et qui sont entre elles comme les carrés des arcs décrits en temps égal, divisés par les rayons de ces cercles.
Ces forces tendent au centre des cercles par la Proposition 2 et le Cor. 2 de la Prop. 1 et elles sont entre elles, par le Cor. 4 de la Prop. 1 comme les sinus verses des arcs décrits dans de très petits temps égaux, c’est-à-dire par le Lemme 7 comme les carrés de ces mêmes arcs divisés par les diamètres de leurs cercles. Or, comme ces petits arcs sont proportionnels aux arcs décrits dans des temps quelconques égaux, et que les diamètres sont comme les rayons, les forces seront comme les carrés des arcs quelconques décrits dans des temps égaux divisés par les rayons. — C.Q.F.D.
Cor. 1. Comme ces arcs sont proportionnels aux vitesses des corps, les forces centripètes seront en raison composée de la raison doublée des vitesses directement, et de la raison simple des rayons inversement.
Cor. 2. Et comme les temps périodiques sont en raison composée de la raison directe des rayons, et de la raison inverse des vitesses ; les forces centripètes seront en raison composée de la raison directe des rayons, et de la raison doublée inverse des temps périodiques.
Cor. 3. Donc, si les temps périodiques sont égaux, et que les vitesses soient par conséquent comme les rayons, les forces centripètes seront aussi comme les rayons : et au contraire.
Cor. 4. Si les temps périodiques et les vitesses sont en raison sous-doublée des rayons, les forces centripètes seront égales entre elles et au contraire.
Cor. 5. Si les temps périodiques sont comme les rayons, et que par conséquent les vitesses soient égales, les forces centripètes seront en raison renversée des rayons : et au contraire.
Cor. 6. Si les temps périodiques sont en raison sesquiplée des rayons, et que par conséquent les vitesses soient réciproquement en raison sous-doublée des rayons, les forces centripètes seront réciproquement comme les carrés des rayons : et au contraire.
Cor. 7. Et généralement, si le temps périodique est comme une puissance quelconque Rn du rayon, et que par conséquent la vitesse soit réciproquement comme la puissance Rn-1 du rayon, la force centripète sera réciproquement comme la puissance R2n-1 du rayon : et au contraire.
Cor. 8. On peut trouver de la même manière tout ce qui concerne les temps, les vitesses et les forces avec lesquelles les corps décrivent des parties semblables de figures quelconques semblables, qui ont leurs centres posés de même dans ces figures, il ne faut pas pour ces cas d’autres démonstrations que les précédentes, pourvu qu’on substitue la description égale des aires au mouvement uniforme, et qu’on mette les distances des corps aux centres à la place des rayons.
Cor. 9. Il suit aussi de la même démonstration, que l’arc qu’un corps décrit pendant un temps quelconque en tournant uniformément dans un cercle en vertu d’une force centripète donnée, est moyen proportionnel entre le diamètre de ce cercle et la ligne que le corps parcourait en tombant par la même force donnée et pendant le même temps.

SCHOLIE.
Le cas du Corollaire 6. est celui des corps célestes (comme nos Compatriotes Hook, Wren et Halley l’ont chacun conclu des observations), c’est pourquoi j’expliquerai fort au long dans la suite de cet Ouvrage tout ce qui a rapport à la force centripète qui décroît en raison doublée des distances au centre.
De plus, par la Proposition précédente et par ses Corollaires, on peut trouver la proportion qui est entre la force centripète et une force quelconque connue, telle que la gravité ; car si le corps tourne dans un cercle concentrique à la Terre par la force de la gravité, la gravité sera sa force centripète : or connaissant d’un côté la descente des graves, et de l’autre le temps de la révolution, et l’arc décrit dans un temps quelconque, on aura par le Corollaire 9. de cette Proposition, la proportion cherchée entre la gravité et la force centripète. C’est par des propositions semblables que M. Huygens, dans son excellent Traité de Horollogio oscillatorio, a comparé la force de la gravité avec les forces centrifuges des corps qui circulent.
On pourrait encore démontrer cette proposition de cette manière. Soit supposé un Polygone d’un nombre de côtés quelconque inscrit dans un cercle. Si le corps, en parcourant les côtés de ce Polygone avec une vitesse donnée, est réfléchi par le cercle à chacun des angles de ce Polygone, la force avec laquelle ce corps frappe le cercle à chaque réflexion sera comme sa vitesse : donc la somme des forces en un temps donné sera comme cette vitesse multipliée par le nombre des réflexions, c’est-à-dire, (si le Polygone est donné d’espèce) comme la ligne parcourue dans ce temps, laquelle doit être augmentée ou diminuée dans la raison qu’elle a elle-même au rayon de ce cercle ; c’est-à-dire, comme le carré de cette ligne divisé par le rayon : ainsi si les côtés du Polygone diminuant à l’infini, le Polygone vient à coïncider enfin avec le cercle, la somme des forces sera alors comme le carré de l’arc parcouru dans un temps donné divisé par le rayon. C’est là la mesure de la force centrifuge avec laquelle le corps presse le cercle ; et cette force est égale et contraire à la force par laquelle ce cercle repousse continuellement le corps vers le centre.

PROPOSITION V. — PROBLEME I.
Trouver le point auquel tendent comme centre des forces qui font parcourir une courbe donnée, lorsqu’on connaît la vitesse du corps à chaque point de cette courbe.
(Fig. 14)
Que les lignes PT, TQV, VR, qui se rencontrent aux points T et V, touchent la courbe donnée dans les points P, Q, R, que l’on mène ensuite par ces points et perpendiculairement aux tangentes les droites PA, QB, RC, réciproquement proportionnelles aux vitesses dans les mêmes points, c’est-à-dire, de sorte que PA soit à QB comme la vitesse au point Q est à la vitesse au point P, et que QB soit à RC comme la vitesse au point R à la vitesse au point Q. Cela fait, soient menées à angles droits par les extrémités A, B, C, de ces perpendiculaires les lignes AD, DBE, EC, qui se rencontrent en D et en E : et en tirant les lignes TD, VE, elles se rencontreront au centre cherché S.
Car les perpendiculaires tirées du centre S aux tangentes PT, QT sont (par le Cor. 1 de la Prop. 1) réciproquement comme les vitesses du corps aux points P et Q ; donc par la construction elles seront comme les perpendiculaires AP, BQ directement, c’est-à-dire, comme les perpendiculaires abaissées du point D sur ces tangentes. D’où l’on tire facilement, que les points S, T, D sont dans une même ligne droite. On prouvera par le même raisonnement que les points S, E, V sont aussi dans une même ligne droite ; donc le centre S se trouvera dans l’intersection des lignes TD, VE. — C.Q.F.D.

PROPOSITION VI. — THEOREME V.
Si un corps décrit autour d’un centre immobile un orbe quelconque dans un espace non résistant, et qu’on suppose que la flèche de l’arc naissant que ce corps parcourt dans un temps infiniment petit (et qui partage sa corde en deux parties égales) passe, étant prolongée, par le centre des forces : la force centripète dans le milieu de l’arc sera en raison directe de cette flèche, et en raison doublée inverse du temps.
Par le Cor. 4 de la Prop. 1 la flèche dans un temps donné est comme la force ; donc, en augmentant le temps en une raison quelconque, la flèche (par les Cor. 2 et 3 du Lemme II.) augmentera dans la raison doublée du temps ; car l’arc augmente en même raison que le temps, donc la flèche est en raison simple de la force, et en raison doublée du temps, et soustrayant de part et d’autre la raison doublée du temps, la force sera en raison directe de la flèche, et en raison doublée inverse du temps. — C.Q.F.D.
On pourrait aussi démontrer facilement cette Proposition par le Cor. 4 du Lemme 10.
(Fig. 15)
Cor. 1. Si le corps P en tournant autour du centre S décrit la courbe APQ, et que cette courbe soit touchée par la ligne ZPR en un point quelconque P, que d’un autre point quelconque Q de cette courbe, on tire QR parallèle à SP, et qu’on abaisse QT perpendiculaire sur SP : la force centripète sera réciproquement comme la quantité que devient lorsque les points P et Q, coïncident ; car QR est égale à la flèche de l’arc double de QP, dont le milieu est P, et le double du triangle SQP ou est proportionnel au temps dans lequel cet arc double est décrit, ainsi on peut l’écrire à la place de ce temps.
Cor. 2. On prouvera par le même raisonnement que la force centripète est réciproquement comme la quantité pourvu que SY soit abaissée perpendiculairement du centre des forces sur la tangente PR de l’orbite ; car les rectangles et sont égaux.
Cor. 3. Si l’orbe PQ est un cercle dont la droite PV, qui passe par le corps et par le centre des forces, soit une corde, ou que cet orbe PQ ait pour cercle osculateur le cercle dont la corde est PV, la force centripète sera réciproquement comme la quantité ; car dans cette supposition .
Cor. 4. Les mêmes choses étant posées, la force centripète est dans la raison doublée directe de la vitesse, et dans la raison inverse de la corde PV ; car par le Cor. 1. de la Propos. 1. la vitesse est réciproquement comme la perpendiculaire SY.
Cor. 5. Donc, si on a une figure curviligne quelconque APQ, et dans cette figure un point donné S, vers lequel la force centripète soit perpétuellement dirigée, on pourra trouver la loi de la force centripète, par laquelle un corps quelconque P sera retiré à tout moment du mouvement rectiligne et retenu dans le périmètre de cette figure, en cherchant la valeur du solide ou celle du solide , qui sont réciproquement proportionnels à cette force. Nous en donnerons des exemples dans les Problèmes suivants.

PROPOSITION VII. — PROBLEME II.
Trouver la loi de la force centripète qui tend à un point donné, et qui fait décrire à un corps la circonférence d’un cercle.
(Fig. 16)
Soient VQPA la circonférence du cercle ; S le point donné vers lequel la force fait tendre le corps comme à son centre ; P un lieu quelconque où l’on suppose le corps arrivé ; Q le lieu consécutif ; PRZ la tangente du cercle au point P ; et PV la corde qui passe par S. Soient de plus VA le diamètre qui passe par V ; AP la corde tirée de A à P ; QT une perpendiculaire à PV, laquelle étant prolongée rencontre la tangente PR en Z ; RL la parallèle à PV qui passe par Q, et qui rencontre le cercle en L, et la tangente PZ en R.
Cela posé, à cause des triangles semblables ZQR, ZTP, VPA ; on aura RP2, c’est-à-dire, QRL : = : ; donc = ; multipliant présentement cette équation par , et écrivant PV au lieu de RL, ce qui est permis lorsque les points P et Q coïncident, on aura = donc, par les Cor. 1. et 5. de la Prop. 6. la force centripète sera réciproquement comme c’est-à-dire, a cause que AV2 est donné, réciproquement comme le carré de la distance ou hauteur SP multipliée par le cube de la corde PV. — C.Q.F.T.
Autre solution.
Soit menée la perpendiculaire SY sur la tangente PR prolongée ; à cause des triangles semblables SYP, VPA, on aura AV : PV = SY. Donc , et = . Donc par les Cor. 3 et 5 de la Prop. 6 la force centripète est réciproquement comme c’est-à-dire, à cause que AV est donnée, réciproquement comme . — C.Q.F.T.
Cor. 1. Donc, si le point donné S, auquel la force centripète tend sans cesse, se trouve dans la circonférence de ce cercle, comme en V, la force centripète sera réciproquement comme la cinquième puissance de la hauteur SP.
(Fig. 17)
Cor. 2. La force par laquelle le corps P décrit le cercle APTV autour du centre S des forces, est à la force par laquelle ce même corps P peut tourner dans le même temps périodique et dans le même cercle autour d’un autre centre quelconque de forces R, comme à SG3, SG étant une droite menée parallèlement à RP, et terminée par la tangente PG.
Car par la construction, la première force est à la dernière comme à c’est-à-dire, comme à , ou bien, à cause des triangles semblables PSG, TPV, comme à SG3.
Cor. 3. La force par laquelle le corps P circule dans un orbe quelconque autour d’un centre de forces S, est à la force, par laquelle ce même corps P peut circuler dans le même temps périodique et dans le même orbe autour d’un autre centre quelconque R de forces, comme à SG3, c’est-à-dire, comme la distance du corps au premier centre des forces S, multipliée par le carré de la distance au second centre R, est au cube de la ligne SG tirée du premier centre S parallèlement à la distance du second centre, et terminée par la tangente PG de l’orbite. Car les forces dans cet orbe sont les mêmes à un de ses points quelconques P, que dans le cercle qui a la même courbure.

PROPOSITION VIII. — PROBLEME III.
On demande la loi de la force centripète dans le cas où le corps décrivant un demi-cercle PQA tend continuellement vers un point S si éloigné, que toutes les lignes PS, RS tirées à ce point peuvent être regardées comme parallèles.
(Fig. 18)
Par le centre C de ce demi-cercle, soit tiré le demi-diamètre CA coupé perpendiculairement en M et en N par les directions de la force centripète. Tirant CP, on aura, à cause des triangles semblables, CPM, PZT et RZQ, et par la nature du cercle (les points Q et P coïncidant). Donc donc et = ; donc, par les Corol. 1 et 5 de la Prop. 6 la force centripète est réciproquement comme , c’est-à-dire (en négligeant la raison donnée de ) réciproquement comme . — C.Q.F.T.
On tirerait facilement la même chose de la Proposition précédente.

SCHOLIE.
Par un raisonnement à peu près semblable, on trouverait que si le corps décrivait une ellipse, une hyperbole, ou une parabole, en vertu d’une force centripète dirigée à un point très éloigné, cette force centripète serait encore réciproquement comme le cube de l’ordonnée qui tend à ce point.

PROPOSITION IX. — PROBLEME IV.
Supposé que le corps tourne dans une spirale PQS qui coupe tous les rayons SP, SQ, etc. sous un angle donné : on demande la loi de la force centripète qui tend au centre de cette spirale.
(Fig. 19)
Soit supposé constant l’angle indéfiniment petit PSQ, la figure SPRQT, ayant tous ses angles constants, sera donnée d’espèce ; donc sera donnée aussi ; donc sera comme SP parce que, comme on vient de le dire, SPRQT est donnée d’espèce.
Supposons présentement que l’angle PSQ, change selon une loi quelconque, la droite QR qui sous-tend l’angle de contact QPR changera, par le Lemme II. en raison doublée de PR ou de QT. De là il suit, que la raison demeurera la même qu’auparavant, c’est-à-dire qu’elle sera encore comme SP. C’est pourquoi sera comme SP3 ; donc par les Cor. 1 et 5 de la Prop. 6 la force centripète sera réciproquement proportionnelle au cube de la distance SP. — C.Q.F.T.
Autre solution.
La perpendiculaire SY abaissée sur la tangente, et la corde PV du cercle osculateur étant en raison donnée avec SP, SP3 est proportionnel à , c’est-à-dire, par les Cor. 3 et 5 de la Prop. 6 réciproquement proportionnel à la force centripète.

LEMME XII.
Tous les parallélogrammes décrits autour des diamètres quelconques conjugués d’une ellipse ou d’une hyperbole donnée sont égaux entre eux.
Cette Proposition est claire par les Coniques.

PROPOSITION X. — PROBLEME V.
Un corps circulant dans une ellipse : on demande la loi de la force centripète qui tend au centre de cette ellipse.
(Fig. 20)
Soient CA, CB les demi axes de l’ellipse ; GP, DK d’autres diamètres conjugués, PF, QT des perpendiculaires à ces diamètres ; Qv une ordonnée au diamètre GP ; si on achève le parallélogramme QvPR, on aura par les coniques Pv × vG : = : . Mais à cause des triangles semblables QvT, PCF, : = : . Donc, en composant ces raisons, on aura Pv × vG : = : , et : , ou : . Si on écrit présentement QR pour Pv, que l’on mette, à cause du Lemme 12. à la place de , et que l’on suppose vG égale à 2PC, ainsi qu’on le doit lorsque les points P et Q coïncident, on aura, en multipliant les extrêmes et les moyens, = . Donc, par le Cor. 5 de la Prop. 6 la force centripète sera réciproquement comme c’est-à-dire, à cause que est donnée, réciproquement comme ; ou, ce qui revient au même, directement comme la distance PC. — C.Q.F.T.
Autre solution.
Sur la droite PG de l’autre côté du point T par rapport à P, soit pris le point u en sorte que . Soit pris ensuite uV à vG, comme DC2 à PC2. Puisque les coniques donnent, : Pv × vG = : , on aura , et ajoutant le rectangle de part et d’autre, il est clair que le carré de la corde de l’arc PQ sera égal au rectangle ; donc le cercle qui touche la section conique en P et qui passe par le point Q passera aussi par le point V. Supposez à présent que les points P et Q se confondent, la raison de uV à vG, qui est la même que la raison de DC2 à PC2, deviendra la raison de PV à PG ou de PV à 2PC ; donc , donc, par le Cor. 3, de la Propos. 6. la force par laquelle le corps P fait révolution dans l’ellipse, sera réciproquement comme , c’est-à-dire, à cause que est donné, que cette force sera directement comme PC. — C.Q.F.T.
Cor. 1. La force est donc comme la distance du corps au centre de l’ellipse : et réciproquement, si la force est comme la distance, le corps décrira, ou une ellipse dont le centre sera le même que le centre des forces, ou le cercle dans lequel l’ellipse peut se changer.
Cor. 2. Les temps périodiques des révolutions qui se font autour du même centre sont égaux dans toutes les ellipses, car ces temps sont égaux dans les ellipses semblables (par les Cor. 3 et 8 de la Prop. 4) ; mais dans les ellipses qui ont le grand axe commun, ils sont les uns aux autres directement comme les aires elliptiques totales, et inversement comme les particules de ces aires décrites en temps égal, c’est-à-dire directement comme les petits axes, et inversement comme les vitesses des corps dans les sommets principaux, ou directement comme les petits axes, et inversement comme les ordonnées au même point de l’axe commun. Mais ces deux raisons directes et inverses qui composent la raison des temps sont alors égales ; donc les temps sont égaux.

SCHOLIE.
Si le centre de l’ellipse s’éloigne à l’infini, et qu’elle devienne une parabole, le corps se mouvra dans cette parabole ; et la force tendant alors à un centre infiniment distant, elle deviendra uniforme. C’est le cas traité par Galilée. Si (en changeant l’inclinaison du plan au cône coupé) la parabole se change en une hyperbole, le corps se mouvra dans le périmètre de cette hyperbole, la force centripète se changeant alors en force centrifuge ; et de même que dans le cercle ou l’ellipse, si les forces tendent au centre de la figure placé sur l’abscisse, en augmentant ou diminuant les ordonnées en une raison donnée quelconque, ou en changeant l’angle d’inclinaison des ordonnées sur l’abscisse, ces forces augmenteront ou diminueront toujours en raison des distances au centre, pourvu que les temps périodiques demeurent égaux ; ainsi dans toutes les courbes, si les ordonnées augmentent ou diminuent dans une raison donnée quelconque, ou que l’angle de ces ordonnées change d’une façon quelconque, le temps périodique et le centre des forces, qu’on suppose placé à volonté sur l’abscisse, demeurant les mêmes, les forces centripètes aux extrémités des ordonnées correspondantes seront entre elles comme les distances au centre.
Table des matières

Table des matières

TROISIEME SECTION

Du mouvement des corps dans les Sections coniques excentriques.

PROPOSITION XI. — PROBLEME VI.
Un corps faisant sa révolution dans une ellipse ; on demande la loi de la force centripète, lorsqu’elle tend à un de ses foyers.
(Fig. 21)
Soient S le foyer de l’ellipse, E la rencontre de SP avec le diamètre DK, x celle de la même ligne SP avec l’ordonnée QV, QxPR le parallélogramme fait sur Px et Qx. On voit d’abord que EP est égale au demi grand axe AC ; car menant par l’autre foyer H la droite HI parallèle à DK, il est clair que EI sera égale à SE à cause de l’égalité qui est entre CH et CS, et par conséquent PE sera égale à la moitié de la somme de PI et de PS, ou, ce qui revient an même, à AC, moitié de la somme de PS et de PH, puisqu’il suit de ce que HI est parallèle à RP, et de ce que les angles HPZ et IPR sont égaux, que . Abaissant ensuite QT perpendiculaire à SP, et nommant L le paramètre du grand axe, c’est-à-dire ; on verra que L × QR : L × Pv = QR : Pv, c’est-à-dire = PE ou AC : PC ; mais L × Pv : Gv × vP = L : Gv et ; de plus, : en raison d’égalité (Cor. 2 Lemme 7) lorsque les points P et Q coïncident, et Qx2 ou , c’est-à-dire = ou (Lemme 12) = ; donc, en composant toutes ces raisons on aura L × QR : = AC × L × × ou = × × : PC × Gv × × ou = 2PC : Gv. Or, puisque 2PC et Gv sont égales lorsque les points P et Q coïncident, les quantités et QT2 qui leur sont proportionnelles seront donc égales aussi. Multipliant présentement ces quantités égales par , on aura = . Donc par les Cor. 1. et 5. de la Prop. 6. la force centripète sera QR réciproquement comme , c’est-à-dire en raison renversée de SP2. — C.Q.F.T.
Autre solution.
(Fig. 21)
Comme la force qui tend au centre de l’ellipse, et par laquelle le corps P peut faire sa révolution dans cette courbe, est par le Cor. 1. de la Prop. 10. proportionnelle à la distance CP du corps au centre C de l’ellipse ; en menant CE parallèle à la tangente PR de l’ellipse, on verra par le Cor. 3 de la Prop. 7 que la force par laquelle ce même corps P ferait sa révolution autour d’un autre point quelconque S de l’ellipse, serait comme en supposant que E fait la rencontre de CE et de la droite SP, tirée au point S. Donc, lorsque le point S sera le foyer, et que par conséquent PE sera constante, la force centripète sera comme . — C.Q.F.T.
Dans ce Problème, ainsi que dans le Probl. 5 on pourrait se contenter d’appliquer la conclusion trouvée pour le cas de l’ellipse à celui de la parabole et de l’hyperbole ; mais à cause de l’importance de ce Problème, et de l’étendue de son usage dans les Propositions suivantes, j’ai cru qu’il ne serait pas inutile de démontrer en particulier les cas de la parabole et de l’hyperbole.

PROPOSITION XII. — PROBLEME VII.
Supposé qu’un corps se meuve dans une hyperbole ; on demande la loi de la force centripète qui tend au foyer de cette courbe.
(Fig. 22)
Que CA, CB soient les demi-axes de l’hyperbole ; PG, KD d’autres diamètres conjugués ; PF une perpendiculaire au diamètre KD ; et Qv une ordonnée au diamètre PG. Qu’on tire SP, qui coupe le diamètre DK en E, et l’ordonnée Qv en x, et qu’on achève le parallélogramme QRPx ; il est clair que EP sera égale au demi axe transversal AC, car tirant par l’autre foyer H de l’hyperbole la ligne HI parallèle à EC, CH étant égale à CS, EI sera égale à ES, et par conséquent EP sera la moitié de la différence des lignes PS et PI, c’est-à-dire, (à cause que IH, PR sont parallèles, et que les angles IPR, HPZ sont égaux) qu’elle sera égale à la moitié de la différence des lignes PS et PH, c’est-à-dire que .
Cela posé, tirant QT perpendiculaire sur SP, et nommant L le paramètre principal de l’hyperbole ou , on aura L × QR : L × Pv = QR : Pv ou = Px : Pv, c’est-à-dire, à cause des triangles semblables Pxv, PEC, = PE : PC, ou = AC : PC. On aura aussi, L × Pv : Gv × Pv = L : Gv ; et par la nature des coniques Gv × vP : = : . De plus , ou (ce qui revient au même, Cor. 2. Lemme 7. lorsque les points P et Q coïncident) : = : , c’est-à-dire, = , ou Lemme 12. = , et en composant toutes ces raisons, on aura L × QR : = AC × L × × ou × × : PC × Gv × × , c’est-à-dire = 2PC : Gv ; mais lorsque les points P et C coïncident, 2PC = Gv. Donc les quantités L × QR et qui leur sont proportionnelles seront aussi égales, et en multipliant ces quantités égales par , on aura = L × . Donc, par les Cor. 1. et 5. de la Prop. 6. la force centripète sera réciproquement comme , c’est-à-dire, en raison renversée du carré de la distance SP. — C.Q.F.T.
Autre solution.
(Fig. 22)
Si on cherche la force en prenant le centre C de l’hyperbole pour centre des forces, on la trouvera proportionnelle à la distance CP. Donc, par le Cor. 3. de la Prop. 7. la force qui tend au foyer S sera comme c’est-à-dire, à cause que PE est donnée, réciproquement comme SP2. — C.Q.F.T.
On démontrera, de la même manière que si cette force centripète se change en une force centrifuge, le corps décrira l’hyperbole conjuguée.

LEMME XIII.
Le paramètre d’un diamètre quelconque d’une parabole, est quadruple de la distance du sommet de ce diamètre au foyer de la Figure.
Cela se démontre par les Coniques.

LEMME XIV.
La perpendiculaire, tirée du foyer d’une parabole à sa tangente, est moyenne proportionnelle entre les distances du foyer au point de contact, et au sommet principal de la Figure.
(Fig. 23)
Soient AP une parabole, S son foyer, A son sommet principal, P le point de contact, PO une ordonnée au diamètre principal, PM une tangente qui rencontre le diamètre principal en M, et SN la ligne perpendiculaire tirée du foyer sur la tangente. Ayant tiré AN, il suivra de l’égalité des lignes MS et SP, MN et NP, MA et AO, que les droites AN et OP sont parallèles, et par conséquent que le triangle SAN est rectangle en A, et semblable aux triangles égaux SNM, SNP ; donc PS : SN = SN : SA. — C.Q.F.D.
Cor. 1. Donc = PS : SA.
Cor. 2. À cause que SA est donnée, SN2 sera proportionnelle à PS.
Cor. 3. Le concours d’une tangente quelconque PM et de la droite SN, tirée perpendiculairement du foyer sur cette tangente, tombera sur la droite AN qui touche la parabole à son sommet principal.

PROPOSITION XIII. — PROBLEME VIII.
Supposé qu’un corps décrive une parabole, on demande la loi de la force centripète qui tend au foyer de cette courbe.
(Fig. 24)
La construction demeurant la même que dans le Lemme précédent, soient P le lieu de la parabole dans lequel on suppose d’abord le corps, et Q le lieu consécutif, de ce lieu Q tirez QR parallèle à SP, et QT perpendiculaire sur cette ligne SP, que v soit la rencontre de PG avec la parallèle Qv à la tangente, et x la rencontre de la même parallèle Qv avec SP, parce que les triangles Pxv, SPM sont semblables, et que les côtés SM, SP de l’un de ces triangles sont égaux, les côtés Px ou QR, et Pv de l’autre triangle seront aussi égaux. Mais, par les coniques, le carré de l’ordonnée Qv est égal au rectangle sous le paramètre et le segment du diamètre Pv, c’est-à-dire, par le Lemme 13. au rectangle ou ; et par le Cor. 2. du Lemme 7. les points P et Q coïncidant, la raison de Qv à Qx devient la raison d’égalité. Donc, dans ce cas, . De plus, à cause des triangles semblables QxT, SPN, , c’est-à-dire, Cor. I. Lemme 14. = , ou = . Donc . Multipliant ensuite cette égalité par , on aura ce qui apprend, Cor. 1. et 5. de la Prop. 6. que la force centripète est réciproquement comme , c’est-à-dire, à cause que 4SA est donnée que cette force est en raison renversée du carré de la distance SP. — C.Q.F.T.
Cor. 1. Des trois dernières Propositions on tire, que si un corps quelconque attiré continuellement vers un centre par une force réciproquement proportionnelle au carré des distances part d’un lieu P, suivant une droite quelconque PR, et avec une vitesse quelconque, ce corps se mouvra dans une section conique qui aura pour l’un de ses foyers le centre des forces, et réciproquement ; car le foyer, le point de contact et la position de la tangente étant donnés, on peut décrire la section conique qui aura à ce point une courbure donnée : et deux orbites qui se touchent, et qui sont décrites avec la même vitesse et la même force centripète ne sauraient différer entre elles.
(Fig. 25)
Cor. 2. Si la vitesse avec laquelle le corps part du lieu P est celle qui peut lui faire décrire la petite ligne PR dans un espace de temps fort court, et que la force centripète puisse faire parcourir à ce même corps dans le même temps l’espace QR : le corps décrira une section conique, dont le paramètre sera ce que devient la quantité , lorsque les petites lignes PR et QR diminuent à l’infini.
Dans ces Corollaires je rapporte le cercle à l’ellipse, et j’excepte le cas où le corps descend en ligne droite au centre.

PROPOSITION XIV. — THEOREME VI.
Si plusieurs corps font leurs révolutions autour d’un centre commun, et que les forces centripètes soient réciproquement en raison doublée de leurs distances à ce centre, les paramètres principaux de leurs orbes seront en raison doublée des aires qu’ils décrivent en temps égal.
(Fig. 25)
Car, par le Cor. 2 de la Prop. 13 le paramètre L est égal à ce que devient la quantité lorsque les points P et Q coïncident ; mais la petite ligne QR est dans un temps donné comme la force centripète qui la fait décrire, c’est-à-dire, par l’hypothèse, QT2 en raison renversée de SP2. Donc est proportionnelle à , c’est-à-dire, que le paramètre L est en raison doublée de l’aire . — C.Q.F.D.
Cor. Donc l’aire elliptique totale, et le rectangle formé par les axes, qui lui est proportionnel, est en raison composée de la raison sous-doublée du paramètre, et de la raison du temps périodique ; car l’aire totale est proportionnelle à l’aire décrite dans un temps donné, et multipliée par le temps périodique.

PROPOSITION XV. — THEOREME VII.
Les mêmes choses étant posées, les temps périodiques dans les ellipses sont en raison sesquiplée de leurs grands axes.
Puisque le petit axe est moyen proportionnel entre le grand axe et le paramètre, le rectangle formé par les axes est donc en raison composée de la raison sous-doublée du paramètre et de la raison sesquiplée du grand axe, mais ce rectangle, par le Cor. de la Prop. 14 est en raison composée de la raison sous-doublée du paramètre, et de la raison du temps périodique. Ôtant donc de part et d’autre la raison sous-doublée du paramètre, il restera la raison sesquiplée du grand axe, qui sera la même que la raison du temps périodique. — C.Q.F.D.
Cor. Les temps périodiques sont donc les mêmes dans les ellipses, et dans les cercles, dont les diamètres sont égaux aux grands axes des ellipses.

PROPOSITION XVI. — THEOREME VIII.
Les mêmes choses étant posées, si par les points où l’on suppose les corps dans chaque orbite on mène des tangentes, et qu’on abaisse du foyer commun des perpendiculaires sur les tangentes, les vitesses de ces corps seront en raison composée de la raison inverse de ces perpendiculaires, et de la raison directe sous-doublée des paramètres principaux.
(Fig. 26)
Du foyer S à la tangente PR tirez la perpendiculaire SY, la vitesse du corps P sera ; réciproquement en raison sous-doublée de la quantité ; car cette vitesse est comme le petit arc PQ décrit dans une particule de temps donnée, c’est-à-dire, par le Lemme 7. comme la tangente PR, ou ce qui revient au même, (à cause que PR : QT = SP : SY) comme , c’est-à-dire, comme SY réciproquement et directement ; or est comme l’aire décrite en un temps donné, c’est-à-dire par la Prop. 14. en raison sous-doublée du paramètre. — C.Q.F.D.
Cor. 1. Les paramètres principaux sont en raison composée de la raison doublée des perpendiculaires et de la raison doublée des vitesses.
Cor. 2. Les vitesses des corps, dans les plus grandes et les moindres distances du foyer commun, sont en raison composée de la raison inverse des distances, et de la raison directe sous-doublée des paramètres principaux ; car alors les perpendiculaires sont les distances elles-mêmes.
Cor. 3. Donc la vitesse, dans une section conique à la plus grande ou à la plus petite distance du foyer, est à la vitesse dans un cercle à la même distance du centre, en raison sous-doublée du paramètre au double de cette distance.
Cor. 4. Les vitesses des corps qui font leurs révolutions dans des ellipses sont les mêmes dans leurs moyennes distances du foyer commun, que celles des corps qui circulent dans des cercles aux mêmes distances ; c’est-à-dire, par le Cor. 6 de la Prop. 4 que ces vitesses sont en raison inverse sousdoublée des distances. Car les perpendiculaires sont moitié des petits axes, et les petits axes sont comme les moyennes proportionnelles entre les moyennes distances et les paramètres. Composant donc la raison inverse des perpendiculaires avec la raison sousdoublée directe des paramètres, il en viendra la raison sousdoublée inverse des distances.
Cor. 5. Dans la même figure, ou même dans diverses figures, pourvu que les paramètres principaux soient égaux, la vitesse du corps est réciproquement comme la perpendiculaire tirée du foyer à la tangente.
Cor. 6. Dans la parabole, la vitesse est réciproquement en raison sous-doublée de la distance du corps au foyer ; dans l’ellipse elle varie plus que dans cette raison, et moins dans l’hyperbole. Pour démontrer ces trois vérités, il suffit de remarquer (Cor. 2 Lem. 14 que la perpendiculaire abaissée du foyer sur la tangente de la parabole est en raison sous-doublée de la distance ; que dans l’ellipse cette perpendiculaire est dans une plus grande raison, et que dans l’hyperbole elle est dans une moindre raison.
Cor. 7. Dans la parabole, la vitesse, à une distance quelconque du foyer, est à la vitesse dans un cercle à la même distance du centre en raison sous-doublée de deux à un. Dans l’ellipse elle est dans une moindre raison, et dans une plus grande dans l’hyperbole ; car, par le Cor. 2 de cette Proposition, la vitesse au sommet de la parabole est dans cette proportion, et par les Cor. 6 de cette Proposition et de la Proposition 4 cette proportion se conserve à toutes les distances. D’où il suit qu’à chaque point de la parabole, la vitesse est égale à la vitesse du corps qui ferait sa révolution dans un cercle à la moitié de la distance du centre, que dans l’ellipse elle est moindre, et plus grande dans l’hyperbole.
Cor. 8. La vitesse d’un corps qui circule dans une section conique quelconque est à la vitesse d’un corps qui fait sa révolution dans un cercle à la distance de la moitié du paramètre principal, comme cette distance est à la perpendiculaire abaissée du foyer de la section sur la tangente. La démonstration en est évidente par le Cor. 5.
Cor. 9. Donc, puisque (Cor. 6 Prop. 4) la vitesse d’un corps qui tourne dans ce cercle serait à la vitesse d’un corps qui tourne dans un autre cercle quelconque en raison sous-doublée inverse des distances, la vitesse d’un corps qui tourne dans une section conique sera à la vitesse de celui qui tourne dans un cercle à la même distance, comme la moyenne proportionnelle entre cette distance commune et la moitié du paramètre principal de la section conique est à la perpendiculaire abaissée du foyer commun sur la tangente de cette section conique.

PROPOSITION XVII. — PROBLEME IX.
Supposant que la force centripète soit réciproquement proportionnelle au carré de la distance au centre, et que la quantité absolue de cette force soit connue, on demande la courbe qu’un corps décrit en partant d’un lieu donné, avec une vitesse donnée, suivant une ligne droite donnée.
(Fig. 27 & 28)
Que la force centripète qui tend au point S soit celle qui fait circuler le corps p dans une orbite donnée pq, et que la vitesse de ce corps au point p soit connue. Que le corps P parte du lieu P, suivant la ligne PR avec une vitesse donnée, et qu’en vertu de cette vitesse et de la force centripète, il décrive la section conique PQ. Que la droite PR touche cette courbe en P, et que pr touche pareillement l’orbite pq en p ; si l’on imagine des perpendiculaires tirées du point S à ces tangentes ; il est clair, par le Cor. 1 de la Prop. 16, que le principal paramètre de la section conique cherchée sera au principal paramètre de l’orbite donnée, en raison composée de la raison doublée des perpendiculaires, et de la raison doublée des vitesses, ainsi il sera donné. Soit L le paramètre de la section conique cherchée, le foyer S de cette même section étant aussi donné, en faisant l’angle RPH égal au complément à deux droits de l’angle RPS, on aura la position de la ligne PH, qui passe par l’autre foyer ; car tirant SK perpendiculaire à PH, et supposant que BC soit le demi axe conjugué, on aura, = – , et ajoutant de part et d’autre , il viendra = ou SP + PH : PH = 2SP + 2KP : L, d’où PH est donnée tant de longueur que de position.
(Fig. 27)
Si la vitesse du corps au point P est telle que le paramètre L soit moindre que , la ligne PH tombera du même côté de la tangente PR que la ligne PS ; ainsi la courbe sera une ellipse, et comme ses foyers S et H seront donnés, son grand axe sera aussi donné.
Si la vitesse du corps est telle que le paramètre L soit égal à , la ligne PH sera infinie, et par conséquent la courbe sera une parabole dont l’axe SH parallèle à la ligne PK sera donné.
Si le corps part du lieu P avec une vitesse encore plus grande, il faudra prendre la ligne PH de l’autre côté de la tangente, ainsi la tangente passant entre les foyers, la courbe sera une hyperbole dont l’axe principal sera égal à la différence des lignes SP et PH, et sera par conséquent donné.
Dans tous ces cas, si l’on suppose que le corps P se meuve dans la section conique ainsi trouvée, il est clair, par les Prop. 11, 12 et 13 que la force centripète sera réciproquement comme le carré de la distance du corps au centre S des forces ; ainsi la ligne PQ représentera exactement celle que le corps décrira par une telle force en partant du lieu donné P, avec une vitesse donnée, et suivant une ligne droite PR donnée de position. — C.Q.F.F.
Cor. 1. De là, le sommet principal D, le paramètre L, et le foyer S étant donnés, on aura dans toute section conique l’autre foyer H, en prenant DH à DS, comme le paramètre à la différence entre le paramètre et 4DS ; car la proportion = devient dans le cas de ce Corollaire, = , et en divisant on aura = .
(Fig. 27)
Cor. 2. Ainsi, si la vitesse du corps dans le sommet principal D est donnée, on trouvera facilement l’orbite, en déterminant d’abord son paramètre par cette condition (Cor. 3 de la prop. 16) qu’il soit au double de la distance DS en raison doublée de cette vitesse donnée à la vitesse du corps qui tourne dans un cercle à la distance DS, et en prenant ensuite DH à DS, comme le paramètre est à la différence entre le paramètre et 4DS.
Cor. 3. De là, si le corps se meut dans une section conique quelconque, et qu’il soit dérangé de son orbite par une impulsion quelconque ; on pourra connaître la nouvelle orbite dans laquelle il circulera ensuite, en composant le mouvement que ce corps a déjà avec le mouvement que cette impulsion seule lui aurait imprimé ; car par ce moyen on aura le mouvement du corps lorsqu’il part du lieu donné dans lequel il a reçu l’impulsion suivant une ligne droite donnée de position.
Cor. 4. Et si ce corps est continuellement troublé dans sa révolution par quelque force qui lui soit imprimée extérieurement, on connaîtra à peu près la courbe qu’il décrira, en prenant les changements que cette force produit dans plusieurs points quelconques, et en estimant par l’ordre de la série les changements continuels dans les lieux intermédiaires.

SCHOLIE.
(Fig. 29)
Si le corps P par une force centripète qui tend à un point quelconque donné R, se meut dans le périmètre d’une section conique quelconque donnée, dont le centre soit C ; et qu’on cherche la loi de la force centripète : on n’aura qu’à mener CG parallèle au rayon RP, et qui rencontre la tangente PG en G, et cette force sera, par le Cor. 1 et la Scholie de la Prop. 10 et par le Cor. 3 de la Prop. 7, comme .

Table des matières


Planche I

Table des matières

QUATRIEME SECTION

De la détermination des orbes elliptiques, paraboliques & hyperboliques, lorsque l’un des foyers est donné.

LEMME XV.
Si des foyers S et H d’une hyperbole ou d’une ellipse quelconque, on tire à un troisième point quelconque V deux lignes droites SV, HV, l’une desquelles HV soit égale à l’axe principal de la figure, c’est-à-dire, à l’axe dans lequel les foyers se trouvent, et qu’on élève sur le milieu de l’autre ligne SV la perpendiculaire TR, cette perpendiculaire touchera en quelque point la section conique ; et réciproquement, si elle la touche, la ligne HV sera égale à l’axe principal de la Figure.
(Fig. 30)
Soient, le point R la rencontre de la perpendiculaire TR avec la ligne HV prolongée, s’il est nécessaire, et SR la droite tirée de S à ce point R ; les lignes TS, TV étant égales, les lignes SR et VR le seront aussi, ainsi que les angles TRS, TRV ; donc, le point R sera à la section conique, et la perpendiculaire TR sera tangente de cette section au point R. L’inverse se démontrerait de même. — C.Q.F.D.

PROPOSITION XVIII. — PROBLEME X.
Le foyer, et les axes principaux étant donnés, décrire les trajectoires elliptiques et hyperboliques qui passent par des points donnés, et qui touchent des droites données de position.
(Fig. 31)
Soit S le foyer commun de ces trajectoires, AB une ligne égale à l’axe principal d’une quelconque de ces trajectoires, P un point par lequel cette courbe doit passer, et TR une ligne qu’elle doit toucher : soit de plus le cercle HG décrit du centre P et de l’intervalle AB – SP, si l’orbite est une ellipse, ou AB + SP, si c’est une hyperbole : abaissant ensuite sur la tangente TR la perpendiculaire ST prolongée en V, en sorte que TV = ST, du centre V et de l’intervalle AB décrivez le cercle FH.
(Fig. 31)
Par cette méthode, soit qu’on ait les deux points P et p, ou les deux tangentes TR et tr, ou le point P et la tangente TR, on décrira toujours deux cercles. Soit H leur intersection commune, décrivant alors une trajectoire qui ait pour axe principal l’axe donné, et les points S et H pour foyers, le Problème sera résolu. Car cette trajectoire passera par le point P, à cause que PH + SP dans l’ellipse, et PH – SP dans l’hyperbole, seront égales à l’axe. De plus, par le Lemme précédent, la ligne TR touchera cette trajectoire. On prouvera par le même raisonnement ou qu’elle passera par les deux points P et p, ou qu’elle aura pour tangentes les lignes TR, tr. — C.Q.F.F.

PROPOSITION XIX. — PROBLEME II.
Autour d’un foyer donné décrire une trajectoire parabolique, qui passe par des points donnés, et qui touche des lignes droites données de position.
(Fig. 32)
S étant le foyer, P un point de la trajectoire à décrire, et TR une tangente de cette trajectoire, du centre P , et de l’intervalle PS soit décrit le cercle FG, et soit abaissé de S sur la tangente TR la perpendiculaire ST qu’on prolongera en V, de sorte que TV = ST. On décrira un autre cercle fg de la même manière si on a un autre point donné p ; ou bien on trouvera un autre point v si on a une autre tangente tr ; cela fait on mènera la droite IF qui touche les deux cercles FG, fg, si les deux points P et p sont donnés, ou qui passe par les deux points V et v, si les deux tangentes TR et tr sont données, ou enfin qui touche le cercle FG, et passe par le point V, si on a le point P, et la tangente TR. Abaissant ensuite sur FI la perpendiculaire SI, coupée en deux parties égales au point K, et décrivant sur l’axe SK une parabole dont le sommet principal soit K, le Problème sera résolu. Car cette parabole, à cause que SK, IK sont égales, ainsi que SP et FP, passera par le point P, et par le Lemme 14. Cor. 3. elle aura TR pour tangente, à cause que ST et TV sont égales, et que l’angle STR est droit. — C.Q.F.F.

PROPOSITION XX. — PROBLEME XII.
Décrire une trajectoire quelconque donnée d’espèce, autour d’un foyer donné, laquelle passe par des points donnés, et touche des lignes droites données de position.
(Fig. 33)
Cas 1. Soit proposé d’abord de décrire la trajectoire ABC qui passe par deux points B et C, et qui ait pour foyer le point donné S.
Comme cette trajectoire est donnée d’espèce, la raison de l’axe principal à la distance des foyers sera donnée. Prenez KB à BS, et LC à SC dans cette raison, décrivez deux cercles des centres B et C, et des intervalles BK et CL ; sur la droite KL qui touche ces cercles en K et en L, abaissez la perpendiculaire SG, et coupez cette ligne SG en A et en a, en sorte que GA soit à AS, et Ga à aS, comme KB à BS ; et des sommets A, a, et sur l’axe Aa décrivez ensuite une trajectoire, le Problème sera résolu.
Car soit H l’autre foyer de la Figure décrite, puisqu’on a GA : AS = Ga : aS, on aura, en divisant, Ga – GA ou Aa : aS – AS ou SH dans la même raison, et par conséquent dans la raison qui est entre l’axe principal de la Figure cherchée et la distance de ses foyers. La Figure décrite est donc de la même espèce que la Figure à décrire. Et comme KB est à BS et LC à CS dans la même raison, cette courbe passera par les points B et C, comme il est clair par les coniques.
(Fig. 34)
Cas 2. Soit proposé maintenant de décrire autour du foyer S donné, une trajectoire qui soit touchée quelque part par les deux lignes TR et tr.
Abaissez du foyer sur ces tangentes les perpendiculaires ST, St, et prolongez ces perpendiculaires en V, et en v, en sorte que TV et tv soient égales à TS et à tS. Coupez la ligne Vv en deux parties égales au point O, élevez ensuite la perpendiculaire indéfinie OH, et coupez en K et en k la droite VS prolongée indéfiniment, en sorte que VK soit à KS et Vk à kS, comme l’axe principal de la trajectoire à décrire est à la distance des foyers. Enfin sur le diamètre Kk décrivez un cercle qui coupe la ligne OH en H; et tracez une trajectoire dont les foyers soient S et H, et l’axe principal une ligne égale à VH ; et le Problème sera résolu.
(Fig. 34)
Car coupant kK en deux parties égales au point X, et tirant les lignes HX, HS, HV, Hv : puisque VK : KS = Vk : kS, et par conséquent = VK + Vk : KS + kS et = Vk – VK : kS – KS, c’est-à-dire = 2VX : 2KX, et = 2KX : 2SX, ou ce qui revient au même = VX : HX et = HX : SX ; les triangles VXH, HXS sont semblables : ce qui donne VH : HS = VX : XH, c’est-à-dire = VK : KS. De là il suit que l’axe principal VH de la trajectoire décrite est à la distance SH de ses foyers, dans la même raison que celle qui est entre l’axe principal de la trajectoire à décrire et la distance de ses foyers, et que par conséquent la trajectoire est de l’espèce demandée. De plus, comme VH et vH sont égales à l’axe principal, et que les lignes VS, vS sont coupées en deux parties égales par les perpendiculaires TR, tr, il est clair, par le Lemme 15. que la trajectoire décrite aura encore la propriété demandée d’être touchée par les droites TR, tr. — C.Q.F.D.
(Fig. 35)
Cas 3. Le foyer S étant donné, on demande une trajectoire qui touche la droite TR en un point donné R.
Sur la droite TR abaissez la perpendiculaire ST, et prolongez-la en V, en sorte que TV = ST. Tirez ensuite VR et coupez en k et en K la droite VS prolongée indéfiniment en sorte que VK soit à SK et Vk à Sk comme l’axe principal de l’ellipse à décrire est à la distance des foyers ; ayant décrit ensuite sur le diamètre Kk un cercle qui coupe en H la droite VR prolongée, tracez une trajectoire dont les foyers soient S et H, et qui ait pour axe principal une ligne égale à VH, et le Problème sera résolu.
Car il est clair, par ce qui a été démontré dans le second cas, que VH : SH = VK : SK, et par conséquent comme l’axe principal de la trajectoire à décrire est à la distance entre ses foyers, la trajectoire décrite sera donc de même espèce que la trajectoire à décrire. De plus, il est clair par les coniques, que cette trajectoire sera touchée au point R par la droite TR qui coupe l’angle VRS en deux parties égales. — C.Q.F.F.
(Fig. 36 & 37)
Cas 4. Soit enfin proposé de décrire autour du foyer S la trajectoire APB qui soit touchée par la droite TR, et qui passe par un point quelconque P donné hors de la tangente, et qui soit semblable à la Figure apb décrite des foyers s, h, et sur l’axe principal ab.
Abaissez sur la tangente TR la perpendiculaire ST, et prolongez-la en V, en sorte que TV = ST. Faites les angles hsq, shq respectivement égaux aux angles VSP, SPV, du centre q et d’un intervalle qui soit à ab, comme SP à VS, décrivez un cercle qui coupe la figure apb en p, joignez les points s et p et tirez SH qui soit à sh, comme SP à sp, et qui fasse l’angle PSH égal à l’angle psh, et l’angle VSH égal à l’angle psq. Ensuite, des foyers H et S sur l’axe principal AB égal à la distance VH, décrivez la section conique, et le Problème sera résolu.
Car si on tire sv qui soit à sp, comme sh à sq, et qui fasse l’angle vsp égal à l’angle hsq, et l’angle vsh égal à l’angle psq, les triangles svh, spq seront semblables, et par conséquent on aura vh : pq = sh : sq, c’est-à-dire, à cause des triangles semblables VSP : hsq = SV : SP ou ab : pq. Donc vh = ab. De plus, à cause des triangles semblables VSH, vsh, VH : SH = vh : sh, c’est-à-dire, que l’axe de la section conique décrite est à l’intervalle de ses foyers comme l’axe ab à l’intervalle sh des foyers ; et par conséquent la figure décrite est semblable à la figure aph. De plus, cette figure passe par le point P, parce que le triangle PSH est semblable au triangle psh ; et elle est touchée par la droite TR, à cause que son axe est égal à VH, et que VS est coupée en deux parties égales par TR. — C.Q.F.F.

LEMME XVI.
Trouver un point, duquel tirant des lignes droites à trois points donnés, les différences de ces trois droites soient nulles ou données.
(Fig. 38)
Cas 1. Soient A, B, C, les points donnés, et Z, le quatrième point qu’il faut trouver ; la différence des lignes AZ, BZ étant donnée, le point Z sera à une hyperbole qui aura pour foyers les points A et B, et pour axe principal la différence donnée. Soit MN cet axe, prenant PM : MA : MN : AB, élevant ensuite PR perpendiculaire sur AB, et abaissant ZR perpendiculaire sur PR, on aura, par la nature de l’hyperbole, ZR : AZ = MN : AB. Par le même raisonnement on trouvera que le point Z sera à une autre hyperbole dont les foyers seront les points A et C, et l’axe principal la différence entre AZ et CZ, et on trouvera aussi la droite QS perpendiculaire sur AC, à laquelle QS, si on mène la perpendiculaire ZS d’un point quelconque Z de cette hyperbole, ZS sera à AZ comme la différence entre AZ et CZ est à AC Cela posé, il est aisé de remarquer que les raisons de ZR et de ZS à AZ sont données, et que par conséquent celle que ZR et ZS ont entre elles est donnée aussi. Donc, si les droites RP, SQ prolongées se rencontrent en T, et qu’on tire TZ et TA, la figure TRZS sera donnée d’espèce, et la droite TZ dans laquelle est placé le point cherché Z sera donnée de position. De plus, la droite TA sera donnée aussi ainsi que l’angle ATZ ; et parce que les raisons de AZ et de TZ à ZS sont données, celle de AZ et de TZ entre elles sera donnée aussi, et par conséquent le triangle entier ATZ, dont le sommet est le point cherché Z, sera enfin donné. — C.Q.F.T.
(Fig. 38)
Cas 2. Si deux de ces trois lignes, comme AZ et BC, sont égales, tirez la droite TZ en sorte qu’elle partage la droite AB en deux parties égales, et cherchez ensuite le triangle ATZ comme ci-dessus.
Cas 3. Si ces trois lignes sont égales, le point Z sera placé dans le centre du cercle qui passe par les points A, B, C. — C.Q.F.T.
Ce Problème se résout aussi par le livre des Touchantes d’Apollonius, restitué par Viète.

PROPOSITION XXI. — PROBLEME XIII.
Décrire une trajectoire autour d’un foyer donné, laquelle passe par des points donnés, et touche des droites données de position.
(Fig. 39)
Que le foyer S, le point P, et la tangente TR soient donnés, et qu’il s’agisse de trouver l’autre foyer H.
Abaissez sur la tangente la perpendiculaire ST, et prolongez-la en Y, en sorte que TY = ST : YH, sera alors égale à l’axe principal. Tirez ensuite SP, HP, et SP sera la différence entre HP et l’axe principal. De la même manière, si on a plusieurs tangentes TR, ou plusieurs points P, on trouvera toujours autant de lignes YH, ou PH, tirées de ces points Y ou P, au foyer H, lesquelles seront égales aux axes, ou en différeront de longueurs données SP, et ces lignes seront par conséquent égales entre elles, ou bien elles auront des différences données, et de là il suit qu’on aura par le Lemme précédent l’autre foyer H. Ayant donc les foyers et la longueur de l’axe (qui sera YH, ou bien la droite égale à PH ± SP, c’est-à-dire, PH + PS, si la trajectoire est une ellipse, et PH – SP, si c’est une hyperbole) on aura la trajectoire. — C.Q.F.F.

SCHOLIE.
Lorsque la trajectoire est une hyperbole, je ne prends pour trajectoire qu’une des hyperboles opposées ; car le corps, en persévérant dans son mouvement, ne peut jamais passer dans l’autre hyperbole.
(Fig. 40)
Le cas où trois points sont donnés se résout plus facilement de cette manière : soient B, C, D les points donnés. Tirez les lignes BC, CD, et prolongez-les en E, et en F, en sorte que EB : EC = SB : SC, et que EC : FD = SC : SD. Ayant mené EF, et l’ayant prolongée, abaissez-lui les perpendiculaires SG, BH, ensuite sur GS prolongée infiniment prenez GA : AS et Ga : aS = HB : BS ; A sera le sommet, et Aa l’axe principal de la trajectoire, laquelle, selon que GA sera plus grand, égal, ou plus petit que AS, sera une ellipse, une parabole, ou une hyperbole. Dans le premier cas, le point a tombera du même côté que le point A, par rapport à la ligne GF ; dans le second cas il s’éloignera, à l’infini, et dans le troisième il tombera du côté opposé au point A, par rapport à la ligne GF. Car si on abaisse sur GF les perpendiculaires CI, DK, on aura, IC : HB = EC : EB, c’est-à-dire, = SC : SB, et réciproquement IC : SC = HB : SB ou = GA : SA, et par un semblable raisonnement KD sera à SD dans la même raison. Donc, les points B, C, D sont à la section conique, dans laquelle toutes les droites tirées du foyer S à la courbe sont aux perpendiculaires abaissées des mêmes points de la courbe sur GF, dans cette raison donnée.
Le célèbre Géomètre la Hire a donné une solution à peu près semblable de ce Problème au huitième Livre de ses Coniques, Prop. 25.

Table des matières

Table des matières

CINQUIEME SECTION

De la détermination des Orbites
lorsqu’aucun des foyers n’est donné.

LEMME XVII.
Si d’un point quelconque P d’une Section conique donnée, on mène les quatre droites PQ, PR, PS, PT, qui fassent chacune un angle donné avec chacun des quatre côtés indéfiniment prolongés AB, CD, AC, DB d’un trapèze quelconque ABCD inscrit dans la section conique, le rectangle des droites PQ × PR tirées à deux côtés opposés, sera en raison donnée au rectangle des droites PS × PT tirées aux deux autres côtés opposés.
(Fig. 41)
Cas 1. Supposons premièrement que les lignes tirées aux côtés opposés soient parallèles à l’un ou à l’autre des côtés restants, que PQ et PR, par exemple, soient parallèles au côté AC, et PS et PT au côté AB, de plus, que deux de ces côtés opposés comme AC et BD soient parallèles l’un à l’autre. Dans ce cas, la droite qui coupe ces côtés parallèles en deux parties égales, sera un des diamètres de la section conique, et coupera aussi la ligne RQ en deux parties égales. Soit O la rencontre de ce diamètre et de RQ, PO sera une ordonnée à ce même diamètre, et OK prise égale à OP, et placée sur son prolongement sera l’ordonnée opposée. Les points A, B, P et K étant donc à la section conique, il est clair (Prop. 17, 19, 21, 23, du Livre III. des coniques d’Apollonius) à cause que PK coupe AB sous un angle donné, que le rectangle PQ × QK sera en raison donnée au rectangle AQ × QB. Mais QK = PR, puisque ces lignes sont les différences des lignes égales OK, OP et OQ, OR ; donc les rectangles PQ × QK, et PQ × PR sont aussi égaux ; et par conséquent le rectangle PQ × PR est au rectangle AQ × QB, c’est-à-dire au rectangle PS × PT, en raison donnée. — C.Q.F.D.
(Fig. 42)
Cas 2. Supposons à présent que les côtés opposés AC, BD du trapèze ne soient point parallèles, tirez Bd parallèle à AC et qui rencontre la droite ST en t, et la section conique en d, tirez de plus Cd qui coupe la ligne PQ en r, et DM parallèle à PQ et qui coupe Cd en M et AB en N, à cause des triangles semblables BTt, DBN, on aura Bt, ou PQ : Tt = DN : NB, et ainsi Rr : AQ ou PS = DM : AN. Multipliant alors les antécédents par les antécédents, et les conséquents par les conséquents, le rectangle ND × DM sera au rectangle AN × NB, comme le rectangle PQ × Rr est au rectangle PS × Tt ; mais par le cas 1. le rectangle PQ × Pr sera au rectangle PS × Pt dans la même raison. Donc cette raison sera aussi celle du rectangle PQ × PR au rectangle PS × PT. — C.Q.F.D.
Cas 3. Supposons enfin que les quatre lignes PQ, PR, PS, PT ne soient pas parallèles aux côtés AC, AB, mais qu’elles leur soient inclinées d’une façon quelconque.
(Fig. 43)
Ayant tiré Pq, Pr parallèles à AC ; Ps, Pt parallèles à AB, les angles des triangles PQq, PRr, PSs, PTt seront donnés, ainsi que les rapports de PQ à Pq de PR à Pr, de PS à Ps, et de PT à Pt. Donc les raisons composées de PQ × PR à Pq × Pr et de PS × PT à Ps × Pt seront données. Mais, par ce qui a été démontré ci-dessus, la raison de Pq × Pr à Ps × Pt est donnée. Donc la raison de PQ × PR à PS × PT l’est aussi. — C.Q.F.D.

LEMME XVIII.
(Fig. 44)
Les mêmes choses étant posées, si les points P sont tels que les rectangles des droites PQ × PR, menées à deux cotés opposés du trapèze, soient en raison donnée aux rectangles des lignes PS × PT, menées aux deux autres côtés ; ces points P seront à une section conique circonscrite au trapèze.
Si par quelqu’un du nombre infini des points P, par le point p, par exemple, et par les quatre points A, B, C, D, on imagine une section conique, je dis que cette section conique passera par tout autre point P trouvé de la même manière. Si on le nie, qu’on suppose donc que AP coupe cette courbe en quelque point autre que P, comme en b. Tirant de ces points p et b, aux côtés du trapèze, et sous les angles donnés les droites pq, pr, ps, pt, et bk, bn, bf, bd ; on aura, par le Lemme 17, pq × pr : ps × pt = bk × bn : bf × bd. Mais PQ × PR est à PS × PT dans la même raison, par l’hypothèse. Donc, à cause que les trapèzes bkAf, PQAS sont semblables, on aura PQ : PS = bk : bf, et par conséquent, en divisant les termes de la première proportion par les termes correspondants de celle-ci, on aura bn : bd = PR : PT Donc les trapèzes équiangles Dnbd, DRPT sont semblables ; d’où l’on tire que leurs diagonales Db, DP coïncident, et qu’ainsi le point b tombe dans l’intersection des droites AP, DP, c’est-à-dire, qu’il coïncide avec le point P, ou, ce qui revient au même, que le point P, quelque part qu’on le prenne, sera à la section conique ainsi déterminée. — C.Q.F.D.
(Fig. 44)
Cor. De là, si les trois droites PQ, PR, PS sont menées du même point P sous des angles donnés à autant d’autres droites AB, CD, AC données de position, et que le rectangle, sous deux de ces lignes PQ × PR, soit au carré de la troisième PS en raison donnée : le point P, d’où ces lignes seront tirées, sera à la section conique que les lignes AB, CD touchent en A et en C ; et réciproquement.
Car si la ligne BD coïncide avec la ligne AC, la position des trois lignes AB, CD, AC demeurant la même, et qu’ensuite la ligne PT coïncide aussi avec la ligne PS : le rectangle PS × PT deviendra le carré de PS, et les droites AB, CD qui coupaient la courbe dans les points A et B, C et D, ne pourront plus la couper dans ces points lorsqu’ils se confondent, mais alors elles la toucheront.

SCHOLIE.
(Fig. 44)
On a pris dans ce Lemme le mot de section conique dans un sens étendu, en sorte qu’il renferme la section rectiligne qui passe par le sommet du cône, et la circulaire parallèle à sa base. Car si le point p tombe sur la droite qui joint les points A et D, ou C et B, la section conique se changera en deux lignes droites, dont l’une est celle sur laquelle le point p tombe, et l’autre la ligne droite qui joint les deux autres des quatre points donnés. Si deux angles opposés du trapèze sont égaux, pris ensemble, à deux droits, que les quatre lignes PQ, PR, PS, PT soient menées à ses côtés ou perpendiculairement ou sous des angles égaux quelconques, et que le rectangle, sous deux de ces lignes PQ × PR, soit égal au rectangle sous les deux autres PS × PT, la section conique sera un cercle. Ce sera la même chose, si les quatre lignes sont menées sous des angles quelconques, et que le rectangle de deux de ces lignes PQ × PR soit au rectangle des deux autres PS × PT, comme le rectangle des sinus des angles S et T, sous lesquels les deux dernières lignes PS, PT ont été menées, est au rectangle des sinus des angles Q, et R sous lesquels on a mené les deux premières PQ, PR.
Dans les autres cas, le lieu du point P sera quelqu’une des trois figures qu’on appelle ordinairement sections coniques.
On peut à la place du trapèze ABCD employer un quadrilatère, dont les deux côtés opposés se coupent mutuellement comme des diagonales. Il se peut aussi que des quatre points A, B, C, D un ou même deux soient placés à une distance infinie : alors les côtés de la figure qui convergeaient précédemment vers ces points deviendront parallèles, et la section conique passera par les autres points, et s’étendra à l’infini du même côté que ces lignes devenues parallèles.

LEMME XIX.
(Fig. 45)
Les quatre lignes AB, CD, AC, BD étant données de position, trouver un point P tel qu’en tirant à ces quatre lignes les droites PQ, PR, PS, PT qui fassent avec elles des angles respectivement égaux à quatre angles donnés, le rectangle PQ × QR de deux de ces quatre lignes, soit au rectangle PS × PT des deux autres en raison donnée.
Ayant tiré une ligne quelconque AH par un des quatre points A, B, C, D, dans lesquels se rencontrent les lignes AB, CD, AC, BD, soit proposé de trouver sur cette ligne un point P qui ait la propriété demandée.
(Fig. 45)
Pour y parvenir, supposant que H et I soient les points où cette ligne AH rencontre les lignes BD et CD, on remarquera que puisque tous les angles de la figure sont donnés, les raisons de PQ à PA et de PA à PS seront données, et que par conséquent la raison de PQ à PS le sera aussi. Ôtant donc cette raison de la raison donnée PQ × PR à PS × PT, on aura la raison de PR à PT, et en ajoutant les raisons données de PI à PR, et de PT à PH, on aura la raison de PI à PH, et par conséquent le point P. — C.Q.F.T.
Cor. 1. On tire de là la manière de mener une tangente à un point quelconque D du lieu des points P ; car la corde PD devient tangente lorsque les points P et D coïncident, c’est-à-dire lorsque AH passe par le point D. Dans ce cas, la dernière raison des évanouissantes IP et PH se trouvera, comme ci-dessus. Menant donc CF parallèle à AD, qui rencontre BD en F, et qui soit coupée en E dans cette dernière raison, DE sera tangente, à cause que CF et l’évanouissante IH sont parallèles et coupées de même en E et en P.
(Fig. 46)
Cor. 2. De là suit encore la manière d’avoir le lieu de tous les points P. Par l’un des points A, B, C, D, comme A, menez la tangente AE, et par un autre point quelconque B, menez BF parallèle à cette tangente, et trouvez par le Lemme 19. le point F où cette droite rencontre le lieu.
Coupez ensuite BF en deux parties égales au point G, la droite indéfinie AG sera la position d’un diamètre auquel BG et FG seront ordonnées. La longueur AH de ce diamètre se trouvera en déterminant le point H où AG rencontre le lieu ; et son paramètre sera à AH comme BG2 à AG × GH. Si AG ne rencontre point le lieu, la ligne AH étant infinie, le lieu sera une parabole, et le paramètre du diamètre AG sera ; mais si elle le rencontre quelque part, le lieu sera une hyperbole, lorsque les points A et H sont placés du même côté par rapport à G, et il sera une ellipse, lorsque le point G sera placé entre A et H, à moins que l’angle AGB ne fût droit ; et que de plus BG2 ne fut égal au rectangle AG × GH ; car dans ce cas le lieu serait un cercle.
De cette façon le Problème des quatre lignes commencé par Euclide, et continué par Apollonius se trouve résolu dans ce Corollaire, non par le calcul, mais par une composition géométrique telle que celle par laquelle les anciens l’ont cherché.

LEMME XX.
(Fig. 47)
Si un parallélogramme quelconque ASPQ a ses deux angles opposés A et P placés dans une section conique ; et que les côtés AQ, AS d’un de ses angles étant prolongés rencontrent la même section conique en B et C, en tirant des points de concours B et C à un cinquième point quelconque D de la section conique les deux lignes BD, CD qui rencontrent en T et en R les deux autres côtés PS, PQ du parallélogramme prolongés indéfiniment : les parties PR et PT seront toujours entre elles en raison donnée, et réciproquement si ces parties sont entre elles en raison donnée, le point D sera à la section conique qui passe par les quatre points A, B, C, P.
Cas 1. Soient tirés BP, CP, et du point D les droites DG, DE, dont la première DG soit parallèle à AB, et rencontre PB, PQ, QA en H, I, G ; et dont la seconde DE soit parallèle à AC, et rencontre PC, PS, AB, en F, K, E, à cause que PQ : IQ (ou DE) = PB : BH = PT : DH, et que PR : DF = RC : DC =G (ou PS) : DG ; on aura les deux proportions PQ : PT = DE : DH et PR : PS = DF : DS, qui donneront étant composées PQ × PR : PS × PT = DE × DF : DG × ZW ; mais par le Lemme 17. DE × DF : DG × DH en raison donnée, de plus, PQ et PS sont données, donc la raison de PR à PT est donnée.
Cas 2. Si PP et PT sont supposées entre elles en raison donnée, en reprenant le même raisonnement, on trouvera que le rectangle DE × DF est au rectangle DG × DH en raison donnée, et qu’ainsi, par le Lemme 18 le point D est à la section conique qui passe par les points A, B, C, P. — C.Q.F.D.
Cor. 1. Donc, si on tire BC qui coupe PQ en r, et que sur PT on prenne Pt à pr, dans la même raison que PT à PR, Bt sera tangente de la section conique au point B ; car supposez que le point D coïncide avec le point B, la corde BD s’évanouissant, BT deviendra tangente, et CD et BT coïncideront avec CB et Bt.
Cor. 2. Et réciproquement, si Bt est tangente, et que BD, CD se rencontrent en un point quelconque D de la section conique, on en conclura que PR : PT = pr : Pt, et de même Bt étant toujours tangente, si PR : PT = Pr : Pt, il s’ensuivra que les droites BD et CD se rencontreront dans un point quelconque D de la section conique.
(Fig. 47)
Cor. 3. Une section conique ne peut couper une autre section conique en plus de quatre points ; car supposant que cela pût être, imaginez que deux sections coniques eussent les cinq points A, B, C, P, O communs, et qu’elles fussent coupées l’une et l’autre par la ligne BD dans les points D, d ; la droite Cd coupant la droite PQ en q, on aurait PR : PT = Pq : PT, ce qui donnerait PR = Pq, contre l’hypothèse.

LEMME XXI.
(Fig. 48)
Si aux deux points donnés ou pôles B, C sont fixés les sommets de deux angles donnés MBD, MCD, et que l’on fasse parcourir la droite donnée MN, au concours M des côtés BM et CM de ces angles les deux autres côtés BD et CD des mêmes angles décriront par leur intersection une section conique. Et réciproquement, si les droites BD, CD décrivent par leur concours D une section conique qui passe par les points donnés K, B, C, et que les angles DBM, DCM soient pris respectivement égaux aux angles donnés ABC, ACB, la rencontre des côtés BM, CM se fera toujours dans une ligne droite donnée de position.
Supposant que N soit un point donné de la droite MN, par lequel on fasse passer les côtés BM, CM des angles mobiles, et que D soit le point dans lequel se rencontrent les autres côtés des mêmes angles, soient tirées CN, BN, CP, BP, soient tirées ensuite du point P les droites PT, PR, qui rencontrent BD, CD en T et en R, et qui fassent l’angle BPT égal à l’angle donné BNM, et l’angle CPR égal à l’angle donné CNM, comme (par l’hypothèse) les angles MBD, NBP sont égaux, ainsi que les angles MCD, NCP ; en ôtant les angles communs NBD, NCD, il restera les angles égaux NBM et PBT, NCM et TCR. De là il suit que les triangles NBM, PBT sont semblables, ainsi que les triangles NCM, PCR. C’est pourquoi PT : NM = PB : NB, et PR : NM = PC : NC Or les points B, C, N, P sont immobiles, donc PT et PR sont en raison donnée avec NM, ou, ce qui revient au même, elles sont en raison donnée l’une à l’autre ; donc, par le Lemme 20 le point D, concours perpétuel des droites mobiles BT et CR, sera à la section conique qui passe par les points B, C, P. — C.Q.F.D.
(Fig. 49)
Et réciproquement, si le point mobile D est à une section conique qui passe par les points donnés B, C, A ; que les angles DBM, DCM soient respectivement égaux aux angles ABC, ACB ; et que faisant coïncider successivement le point D avec les deux points donnés p, P de la section conique, on détermine les points n et N avec lesquels le point M coïncide successivement par cette opération, la droite nN sera le lieu de tous les points M. Car supposez que le point M soit à quelque courbe ; dans ce cas le lieu des points D déterminé par cette courbe, serait une section conique qui passerait par les cinq points B, C, A, p, P, mais, par ce qui a été démontré, le lieu des points D, lorsque les points M sont dans une ligne droite, est encore une section conique qui passe par les mêmes points B, C, A, p, P. On aurait donc, par la supposition que le point M est dans une courbe, deux sections coniques qui passeraient par les cinq mêmes points, ce qui est impossible par le Cor. 3 du Lemme 20. Donc cette supposition est absurde.

PROPOSITION XXII. — PROBLEME XIV.
Faire passer une trajectoire par cinq points donnés.
(Fig. 50)
Soient donnés les cinq points A, B, C, P, D. D’un de ces points A soient menées les droites AB, AC à deux autres quelconques B et C, qu’on prend pour pôles, et soient menées par le quatrième point P deux lignes TPS, PRQ parallèles aux deux lignes AB, AC. Soient tirées ensuite des deux pôles BC, au cinquième point D deux lignes indéfinies, dont l’une BDT rencontre TPS en T, et l’autre CRD rencontre PRQ en R. Cela fait, en tirant d’un point quelconque t de la droite indéfinie SPT la droite tr parallèle à TR, la rencontre d des lignes Crd, et Bt sera à la trajectoire cherchée ; car ce point d (par le Lemme 20) sera à la section conique qui passe par les quatre points A, B, C, P ; de plus, les lignes Rr, Tt s’évanouissants, le point D coïncide avec le point d. Donc la section conique passe par les cinq points A, B, C, P, D. — C.Q.F.D.
Autre solution.
(Fig. 51)
Joignez par des lignes droites trois quelconques A, B, C, des points donnés ; prenant ensuite les deux points B et C pour pôles, appliqués successivement aux points D et P, les côtés BA et CA des angles ABC, ACB, et marquez les points M et N dans lesquels les autres côtés de ces angles se rencontrent dans ces deux positions. Cela fait, tirez la droite indéfinie MN, et faites parcourir cette ligne à l’intersection continuelle m des côtés BL, CL des angles ABC, ACB, et vous aurez alors par l’intersection continuelle d des autres côtés de ces mêmes angles la trajectoire cherchée PADdB.
Car le point d (par le Lemme 21) sera à la section conique qui passe par les points B, C ; et lorsque le point m coïncidera avec les points L, M, N, le point d, par la construction, coïncidera avec les points A, D, P. Ainsi il décrira la section conique qui passe par les cinq points A, B, C, P, D. — C.Q.F.F.
Cor. 1. On peut mener très aisément par ce moyen une droite qui touche la trajectoire cherchée dans un point quelconque donné B, car en faisant coïncider le point d avec le point B, la droite Bd sera la tangente cherchée.
Cor. 2. De là on aura le centre, le diamètre, et le paramètre de la trajectoire, comme dans le Cor. 2 du Lemme 19.

SCHOLIE.
(Fig. 52)
La construction précédente deviendra un peu plus simple en tirant BP, et prenant sur cette ligne prolongée, s’il est besoin, Bp : BP = PR : PT, et en tirant par p une ligne infinie pe parallèle à SPT ; car il ne faudra que prendre sur cette ligne la partie pe égale à l’intervalle quelconque Pr, et tirer les lignes Crd, Bed, pour avoir par leur rencontre un point quelconque de la trajectoire. On verra aisément la raison de cette construction en remarquant, que puisque les raisons de Pr à Pt, de PR à PT, de pB à PB, et de pe à Pt, sont égales, il faut donc que pe et Pr soient égales entre elles.
Lorsqu’on ne voudra pas employer la construction mécanique de la seconde solution, celle-ci sera d’une grande commodité dans la pratique.

PROPOSITION XXIII. — PROBLEME XV.
Décrire une trajectoire qui passe par quatre points donnés et qui ait pour tangente une droite donnée de position.
(Fig. 53)
Cas 1. Que la tangente HB, le point de contact B, et trois autres points C, D, P soient donnés. Joignez les points B et C par la ligne BC, tirez PS parallèle à BH et PQ parallèle à BC ; achevez le parallélogramme BSPQ ; tirez ensuite BD qui coupe SP en T, et CD qui coupe PQ en R. Enfin, ayant mené une droite quelconque tr parallèle à TR, prenez sur PQ et sur PS les abscisses Pr, Pt respectivement proportionnelles aux lignes PR, PT ; et le point d, concours des lignes Cr, Bt, sera toujours, par le Lemme 20 à la trajectoire qu’il fallait décrire. — C.Q.F.F.
Autre solution.
(Fig. 54)
Faisant tourner l’angle CBU autour du pole B, ainsi que le rayon rectiligne quelconque DC, prolongé des deux côtés, autour du pole C, soient marqués les points M et N, dans lesquels le côté BC de l’angle coupe ce rayon, lorsque l’autre côté BH concourt avec ce même rayon dans les points P et D. Faisant ensuite mouvoir le rayon CD et le côté BC de l’angle CBH, de manière que leur concours soit toujours dans la droite indéfinie MN, on aura alors par la rencontre continuelle de l’autre côté BH de l’angle CBH, avec le même rayon CD, la trajectoire cherchée.
(Fig. 51 & 54)
Car, si dans les constructions du problème précédent, le point A se confond avec le point B, les lignes AC et CB coïncideront, et la ligne AB, dans sa dernière position, deviendra la tangente BH ; ce qui changera ces constructions dans celles qu’on vient de décrire. Le concours du côté BH et du rayon, décrira donc la section conique qui passe par les points C, D, P, et qui touche la droite BH au point B. — C.Q.F.F.
(Fig. 55)
Cas 2. Soient donnés quatre points B, C, D, P placés hors de la tangente HI.
Tirez les lignes BD, CP, qui concourent en G, et qui rencontrent la tangente en H et en I. Coupez ensuite cette tangente en A, en sorte que HA soit à IA, comme le rectangle de la moyenne proportionnelle entre CG et GP, et de la moyenne proportionnelle entre BH et HD est au rectangle de la moyenne proportionnelle entre DG et GB, et de la moyenne proportionnelle entre PI et IC ; et le point A sera le point de contact. Car si la ligne HX, parallèle à la droite PI, coupe la trajectoire dans les points quelconques X et Y, il faudra, par les coniques, que la position du point A soit telle que AH2 soit à AI2, en raison composée de la raison du rectangle XH × HY au rectangle BH × HD, ou du rectangle CG × GP au rectangle DC × GB, et de la raison du rectangle BH × HD au rectangle PI × IC. Ayant donc trouvé le point de contact A, on décrira la trajectoire comme dans le premier cas. — C.Q.F.F.
Il est à remarquer qu’on peut prendre le point A entre les points H et I, ou sur le prolongement de HI, ce qui donne deux solutions du Problème.

PROPOSITION XXIV. — PROBLEME XVI.
Décrire une trajectoire qui passe par trois points donnés, et qui soit touchée par deux lignes droites données deposition.
(Fig. 56)
Par deux quelconques B et D des trois points donnés B, C, D, tirez la droite indéfinie BD qui rencontre les tangentes données HI, KL dans les points H et K, ensuite par le point D, et par le troisième point donné C, tirez la droite indéfinie CD, qui rencontre les mêmes tangentes aux points I et L. De plus, coupez ces lignes en R et en S, de sorte que HR soit à KR comme la moyenne proportionnelle entre BH et HD est à la moyenne proportionnelle entre BK et KD ; et que IS soit à LS comme la moyenne proportionnelle entre CI et ID est à la moyenne proportionnelle entre CL et LD. Cela fait, soit que vous ayez pris les points R et S entre les points K et H, I et L, ou sur les prolongements de KH et de IL, ainsi que cela est permis, vous aurez, par les rencontres de la ligne RS avec les tangentes HI et KL, les points d’attouchement A et P.
Car si on suppose que A et P soient les points d’attouchement placés quelque part dans les tangentes, et que par un point quelconque I, des points H, I, K, L, placé sur l’une ou l’autre tangente HI, on tire la droite IY parallèle à l’autre tangente KL, et qui rencontre la courbe en X et en Y, et qu’on prenne IZ moyenne proportionnelle entre IX et IY : on aura, par les coniques, le rectangle XI × IY ou IZ2 à LP2, comme le rectangle CI × ID au rectangle CL × LD, c’est-à-dire, par la construction, comme SI2 à SL2 : d’où l’on tirera que IZ : LP = SI : SL, et que par conséquent les points S, P, Z sont en ligne droite. De plus, les tangentes concourant au point G, on aura encore par les coniques le rectangle XI × IY ou IZ2 : IA2 = GP2 : GA2, qui donne IZ : IA = GP : GA. Donc, les points P, Z et A sont en ligne droite, et par conséquent les points S, P et A, y sont aussi. On prouvera par le même raisonnement que les points R, P et A, sont en ligne droite. Donc les points d’attouchement A et P sont dans la droite RS.
Ayant ainsi les points d’attouchement A et P, on décrira la trajectoire comme dans le premier cas du Problème précédent. — C.Q.F.F.
(Fig. 56)
Dans cette proposition, et dans le second Cas de la Proposition précédente les constructions sont les mêmes, soit que la droite XY coupe la trajectoire en X et en Y, soit qu’elle ne la coupe point ; puisque les opérations qu’on a faites ne dépendent point de cette section. Or ayant démontré les constructions pour le cas où XY rencontre la trajectoire, il sera aisé d’en tirer la démonstration pour le cas où elle ne la rencontre pas ; je ne m’y arrêterai donc pas de crainte d’être trop long.

LEMME XXII.
Changer les figures en d’autres figures du même genre.
(Fig. 57)
Etant proposé de transformer la figure quelconque HGI, soient menées à volonté deux droites parallèles AO, BL qui coupent en A et en B une troisième droite quelconque AB donnée de position ; soit de plus menée la parallèle GD à OA par un point quelconque G de la figure donnée. Tirant ensuite du point O donné dans AO, au point D, la droite OD qui rencontre BL en d, et élevant sur ce point d la droite dg, qui fasse avec la droite BL un angle quelconque donné, et qui ait à Od la même raison que DG à OD, g sera le point qui dans la figure nouvelle hgi répond au point G, de la même manière chaque point de la première figure donnera autant de points de la figure nouvelle ; et si on imagine que le point G parcoure d’un mouvement continu tous les points de la première figure, le point g parcourra de même, par un mouvement continu, tous les points de la nouvelle figure.
Afin d’être plus clair, nous appellerons DG première ordonnée, et dg nouvelle ordonnée, AD première abscisse, et ad abscisse nouvelle, O pôle, OD rayon coupant, OA premier rayon ordonné, et la droite Oa, qui achève le parallélogramme OABa, nouveau rayon ordonné.
Cela posé, si le point G est à une ligne droite donnée de position, le point g sera aussi à une ligne droite donnée de position. Si le point G est à une section conique, le point g sera aussi à une section conique. Je mets ici le cercle au nombre des sections coniques. De plus, si le point G est à une ligne du troisième ordre, le point g sera de même à une ligne du troisième ordre, il en sera de même des courbes des ordres plus élevés, c’est-à-dire, que les deux lignes auxquelles seront les points G et g seront toujours du même degré.
(Fig. 57)
Car Od étant à OD, dg à DG, et AB à AD, comme ad à OA, on aura , et . Donc, si le point G est à une ligne droite, dans l’équation quelconque, qui exprime la relation entre l’abscisse AD et l’ordonnée DG, les indéterminées DG et AD n’ayant qu’une dimension, en écrivant dans cette équation pour AD et pour DG, on aura une équation nouvelle, dans laquelle la nouvelle abscisse ad et la nouvelle ordonnée dg n’auront aussi qu’une dimension, et cette équation exprimera par conséquent une ligne droite. Si AD et DG, ou seulement l’une des deux, avait deux dimensions dans la première équation, ad et dg en auraient aussi deux dans la seconde, et il en serait de même si elles avaient trois dimensions, ou des dimensions plus hautes. Ainsi les indéterminées ad, dg dans la seconde équation, et AD, DG dans la première, auront toujours le même nombre de dimensions, et par conséquent les lignes auxquelles sont les points G et g sont du même degré.
De plus, si une ligne droite touche la ligne courbe dans la première figure ; la droite qui lui répondra dans la nouvelle figure touchera la courbe de la même manière ; et au contraire. Car si deux points d’une courbe quelconque s’approchent l’un de l’autre, et qu’ils se confondent dans la première figure, les mêmes points correspondants dans la figure nouvelle s’approcheront et se confondront aussi ; donc, les droites qui joignent ces points deviendront en même temps tangentes des courbes dans l’une et l’autre figure.
Les démonstrations de ces Propositions pourraient être présentées d’une manière plus conforme aux démonstrations géométriques ordinaires ; mais je préfère la brièveté.
Si c’est une figure rectiligne qu’il faut transformer, il suffira de joindre par des lignes, dans la nouvelle figure, les points correspondants à ceux qui sont les intersections des lignes dont la première figure est composée. Si la figure à transformer est curviligne, il faut transporter dans la nouvelle figure les points, les tangentes, et les autres droites par lesquelles on peut décrire la courbe.
Ce Lemme sert à résoudre des Problèmes très difficiles, en transformant les figures proposées en de plus simples. Car on peut transformer les lignes convergentes en des lignes parallèles, en prenant pour premier rayon ordonné une ligne droite quelconque qui passe par le point de concours des lignes convergentes ; parce que, dans ce cas, le point de concours dans la nouvelle figure s’éloignera à l’infini, et ensuite lorsqu’on a résolu le Problème dans la nouvelle figure, on n’aura plus qu’à repasser, par des opérations inverses, de la nouvelle figure à la première, et le Problème sera résolu.
Ce Lemme est encore fort utile dans la solution des Problèmes solides ; car toutes les fois qu’on a deux sections coniques, de l’intersection desquelles dépend la solution du Problème, on pourra transformer l’une ou l’autre, soit hyperbole ou parabole, en une ellipse ; et ensuite l’ellipse se change aisément en un cercle. De la même manière, dans les Problèmes plans, la ligne droite et la section conique se changeront en une droite et un cercle.

PROPOSITION XXV. — PROBLEME XVII.
Décrire une trajectoire, qui passe par deux points donnés, et qui touche trois lignes droites données de position.
(Fig. 58)
Par le concours de deux de ces tangentes, et par le concours de la troisième avec la ligne droite qui passe par les deux points donnés, tirez une droite indéfinie, et la prenant pour le premier rayon ordonné, changez la figure en une figure nouvelle, par le Lemme précédent. Dans cette nouvelle figure les deux tangentes qui concourraient seront parallèles entre elles, et la troisième sera parallèle à la droite qui passe par les deux points donnés. Que hi et kl représentent ces deux tangentes parallèles, ik la troisième tangente, hl la droite qui lui est parallèle, et qui passe par les points a et b, par lesquels la section conique doit passer dans cette nouvelle figure, et que hikl soit le parallélogramme formé par ces quatre lignes. Cela posé, soient coupées les droites hi, ik, kl, en a, d, e, de sorte que hc soit à , ic à id, et ke à kd, comme ht + kl à , et les points c, d, e seront les points d’attouchement.
Car on voit, par les coniques, que hc2 : ah × hb = ic2 : id2 = ke2 : kd2 = el2 : al × lb, ou ce qui revient au même que hc : = ic : id = ke : kd = el : , c’est-à-dire, (en ajoutant les antécédents ainsi que les conséquents) = hi + kl : ki + + , ce qui donne la construction qu’on vient d’énoncer.
Ayant donc les points d’attouchement c, d, e, dans la nouvelle figure, par des opérations inverses, on trouvera leurs points correspondants dans la première figure, et par le Problème 14. on décrira la trajectoire. — C.Q.F.F.
Au reste, de la même manière que les points a et b seront entre les points h et l, ou bien sur le prolongement de la ligne qui joint ces points, les points c, d, e doivent être pris entre les points h, i, k, l, ou bien sur les prolongements des lignes qui joignent ces points. Lorsque l’un des points a et b sera entre les points h et l, et l’autre sur le prolongement de la ligne qui les joint, le Problème sera impossible.

PROPOSITION XXVI. — PROBLEME XVIII.
Décrire une trajectoire qui passe par un point donné, et qui touche quatre droites données de position.
De l’intersection de deux de ces tangentes quelconques on tirera à l’intersection des deux autres une droite indéfinie, et la prenant pour le premier rayon ordonné, on transformera la figure par le Lemme 22 en une figure nouvelle. Par ce moyen chaque paire de tangentes qui concourait dans le premier rayon ordonné deviendra une paire de tangentes parallèles
(Fig. 59).
Soient i k h l le parallélogramme formé par les quatre nouvelles tangentes, et p le point qui répond dans la nouvelle figure au point donné dans la première ; en tirant de ce point p au centre O du parallélogramme la droite pOq double de pO, q sera un autre point de la section conique. On n’aura donc plus, en se servant du Lemme 22. qu’à retrouver par une opération inverse le point qui répond à ce point q dans la première figure, et le Problème sera réduit au précèdent. — C.Q.F.F.

LEMME XXIII.
(Fig. 60)
Si deux lignes AC, BD, données de position, sont terminées par les points donnés A, B, et quelles aient entre elles une raison donnée ; que de plus la droite CD, qui joint les points indéterminés C, D, soit coupée en K dans une raison donnée : le point K sera à une droite donnée de position.
E étant la rencontre des lignes AC, BD, soit pris sur BE l’intervalle BG qui soit à AE, comme BD à AC, soit prise ensuite FD qui soit toujours égale à la droite donnée EG ; on aura par la construction EC : GD, (ou EF) = AC : BD, et par conséquent en raison donnée ; ainsi le triangle EFC est donné d’espèce. Soit coupée maintenant CF en L, en sorte que CL : CF = CK : CD ; il est clair, à cause que cette raison est donnée, que le triangle EFL sera aussi donné d’espèce, donc le point L sera à la droite EL donnée de position. Tirant alors LK, il est clair que les triangles CLK, CDF seront semblables, et qu’à cause que FD est donnée, ainsi que la raison de LK à FD, la droite LK sera aussi donnée. Donc en prenant EH = LK, et en menant HK, cette droite sera donnée de position, et sera celle qui passe par tous les points K. — C.Q.F.D.
Cor. À cause que la figure EFLC est donnée d’espèce, les trois droites EF, EL et EC, ou GD, HK et EC auront des raisons données entre elles.

LEMME XXIV.
Si trois droites touchent une section conique quelconque, et que deux de ces droites soient parallèles et données de position, celui des demi-diamètres de cette section conique qui sera le demi-diamètre parallèle à ces deux lignes, sera moyen proportionnel entre les segments de ces lignes compris entre les points d’attouchements, et la troisième tangente.
(Fig. 61)
Soient AF, BG les deux parallèles qui touchent la section conique ADB en A et en B ; EF la troisième droite qui touche la même courbe en I, et qui rencontre les deux premières tangentes en F et en G, soit de plus CD le demi-diamètre de la figure parallèle aux tangentes : il s’agit de démontrer que les lignes AF, CD, BG sont en proportion continue.
Pour le faire voir, soit prolongé le diamètre MCD jusqu’à ce qu’il rencontre en H la tangente FG, et soit tiré le diamètre conjugué ACB. En formant le parallélogramme IKLC ; on aura, par la nature des sections coniques, EC : CA = CA : CL = EC – CA : CA – CL, ou = EA : AL, et par conséquent EA : EA + AL (ou EL) = EC : EC + CA (ou EB) ; donc, à cause que les triangles EAF, ELI, ECH, EBG sont semblables, AF : LI = CH : BG. Mais, par la nature des coniques, LI ou CK : CD = CD : CH ; donc AF : CD = CD : BG. — C.Q.F.D.
Cor. 1. De là, si deux tangentes FG, PQ se coupent en O, et rencontrent les tangentes parallèles AF, BG en F et G, P et Q ; on aura AF : BQ = AP : BG, et par conséquent = FP : GQ ; c’est-à-dire = FO : OG.
Cor. 2. Ainsi deux droites PG, FQ menées par les points P et G, F et Q auront leur commune intersection dans la droite ACB, qui passe par le centre de la figure, et par les points d’attouchement A et B.

LEMME XXV.
Si les quatre côtés d’un parallélogramme prolongés indéfiniment touchent une section conique quelconque, et qu’ils soient coupés par une cinquième tangente quelconque, en prenant sur deux côtés quelconques opposés de ce parallélogramme les segments terminés à deux angles opposés, chacun de ces segments sera au côté duquel il aura été retranché par la cinquième tangente, comme la partie de l’autre côté du parallélogramme, comprise entre le point d’attouchement et le troisième côté, est à l’autre segment.
(Fig. 62)
ML, LK, KL, ML étant les quatre côtés d’un parallélogramme MLLK qui touchent la section conique en A, B, C, D ; et FQ une cinquième tangente qui coupe ces côtés en F, Q, H, E : si on prend les segments ME, KQ, des côtés MI, KI, on aura ME : MI = BK : KQ, et si on prend les segments KH, MF des côtés ML, KL, on aura KH : KL = AM : MF.
Car par le Corollaire premier du Lemme précédent, on aura ME : MI = AM ou BK : BQ ; d’où l’on tire ME : MI = BK : KQ. — C.Q.F.D.
Par le même Corollaire on aura KH : HL = BK ou AM : AF, qui donne KH : KL = AM : MF. — C.Q.F.D.
Cor. 1. De là, si le parallélogramme IKLM décrit autour de la section conique est donné, le rectangle KQ × ME sera donné, ainsi que le rectangle KH × MF, qui lui est égal, à cause que les triangles MFE, KQH sont semblables.
Cor. 2. Si on mène une sixième tangente eq qui rencontre les tangentes KL, ML, en q et en e ; le rectangle KQ × ME étant égal au rectangle Kq × Me, on aura KQ : Me = Kq : ME, et par conséquent = Qq : Ee.
Cor. 3. D’où, si on tire Eq et eQ, qu’on les coupe en deux parties égales, et qu’on tire une droite par les points de bissection, cette droite passera par le centre de la section conique. Car puisque Qq : Ee = KQ : Me, il faut, par le Lemme 23 que la droite qui passe par le milieu de Eq et de eQ, passe aussi par le milieu de MK. Or, le milieu de MK est le centre de la section conique.

PROPOSITION XXVII. — PROBLEME XIX.
Décrire une trajectoire qui soit touchée par cinq lignes droites données de position.
(Fig. 63)
Les tangentes ABG, BCF, GCD, FDE, EA étant données de position, coupez en deux parties égales aux points M et N les diagonales AF, BE de la figure quadrilatère ABFE formée par quatre quelconques de ces tangentes, et par le Cor. 3 du Lemme 25 la droite MN menée par les points de bissection passera par le centre de la trajectoire. Coupez ensuite en deux parties égales dans les points P et Q les diagonales BD, GF de la figure quadrilatère BGDF, formée par quatre autres des cinq mêmes tangentes : et la droite PQ tirée par les points de bissection passera encore par le centre de la trajectoire ; ainsi la rencontre O de MN et de PQ donnera la position de ce centre. Tirez ensuite KL parallèle à une tangente quelconque BC, et à une telle distance de cette tangente, que le centre O soit placé au milieu de l’intervalle qui sépare ces parallèles, KL sera par ce moyen une nouvelle tangente de la trajectoire qu’il faut décrire. Que L et K soient les points où cette nouvelle tangente coupe deux quelconques GCD, FDE, des premières, en menant des droites CK, FL par les points C et K, F et L où les tangentes parallèles CF, KL rencontrent les tangentes non parallèles CL, FK, on aura par la rencontre R de ces droites, et par le centre O la position de la ligne RO qui coupe les deux tangentes CF, KL dans les points où ces deux tangentes touchent la section conique cherchée, ainsi qu’il est aisé de s’en assurer par le Cor. 2 du Lemme 24. Trouvant ensuite les autres points de contact par la même méthode, il sera aisé de décrire la trajectoire par le Probl. 14.

SCHOLIE.
Les Problèmes, dans lesquels les centres ou les asymptotes des trajectoires sont donnés, sont contenus dans les précédents ; car, par le moyen des points de ces trajectoires qui seront donnés, de leurs tangentes, et du centre, on aura autant d’autres points, et d’autres tangentes prises de l’autre côté du centre et à égale distance. À l’égard des asymptotes on peut les regarder comme des tangentes, et leurs extrémités (si l’on peut s’exprimer ainsi) comme des points de contact. Imaginez donc que le point d’attouchement d’une tangente s’éloigne à l’infini ; cette tangente deviendra asymptote, et les constructions des Problèmes précédents se changeront dans les constructions des Problèmes où l’asymptote est donnée.
(Fig. 64 & 65)
Lorsque la trajectoire est décrite, on peut trouver ses axes et ses foyers par la méthode suivante. Dans la construction et la figure du Lemme 21 faites que les côtés BP, CP des angles mobiles PBN, PCN, par le concours desquels la trajectoire a été décrite, deviennent parallèles entre eux, et qu’en conservant cette position, ils tournent dans cette figure autour de leurs pôles B et C. Pendant ce mouvement les seconds côtés CN, BN de ces angles décriront par leur concours K ou k le cercle BGKC. Du centre O de ce cercle tirez la ligne OH qui rencontre le cercle en K et en L, et qui soit perpendiculaire sur la règle MN, sur laquelle ces seconds côtés CN, BN se sont rencontrés en décrivant la trajectoire : lorsque ces seconds côtés arrivés en CK, BK se couperont en K dans le point le plus proche de cette règle, les premiers côtés CP, BP seront alors parallèles au grand axe, et perpendiculaires au petit ; ce serait le contraire, si ces mêmes côtés concouraient au point le plus éloigné L. Donc, si le centre de la trajectoire est donné, on aura par ce moyen la longueur des axes, et la position des foyers s’en tirera tout de suite.
(Fig. 63 & 64)
Les carrés des axes sont entre eux comme KH à LH ; ce qui donne un moyen facile de décrire par quatre points quelconques une trajectoire donnée d’espèce. Car si on prend deux de ces points donnés pour les pôles B et C, le troisième donnera les angles mobiles, PCK, PBK ; et ces angles étant donnés, on connaîtra aussitôt le cercle BGKC. Or, la trajectoire étant donnée d’espèce, la raison de OH à OK sera donnée, et par conséquent OH le sera aussi. Décrivant donc du centre O, et de l’intervalle OH un autre cercle, la droite qui touchera ce cercle, et qui passera par le concours des seconds côtés CK, BK, lorsque les premiers CP, PB concourent au quatrième point donné, sera la règle MN par le moyen de laquelle on peut décrire facilement la trajectoire. Par la même méthode on pourra aussi inscrire un trapèze donné d’espèce dans une section conique donnée quelconque toutes les fois que le cas sera possible.
Il y a encore d’autres Lemmes par lesquels on peut décrire des trajectoires données d’espèce lorsqu’on a des points donnés, et des tangentes données. Tel est par exemple celui-ci. Si d’un point donné on mène à volonté une ligne droite, qui coupe une section conique donnée en deux points, et que l’intervalle de ces intersections soit partagé en deux parties égales, le point de bissection sera à une autre section conique de la même espèce que la première, et les axes de ces deux courbes seront parallèles entre eux ; mais je passe à des choses plus utiles.

LEMME XXVI.
Placer les trois côtés d’un triangle donné de grandeur et d’espèce, en sorte que ses trois angles soient respectivement appliqués sur trois lignes données de position, mais qui ne sont pas toutes parallèles entre elles.
(Fig. 66 & 67)
Les trois lignes indéfinies AB, AC, BC, étant données de position, il s’agit de placer le triangle DEF de façon que son angle D soit placé sur la ligne AB, l’angle E sur la ligne AC, et l’angle F sur la ligne BC.
On commencera par décrire sur DE, DF, et EF les trois segments de cercles DRE, DGF, EMF capables d’angles qui soient respectivement égaux aux angles BAC, ABC, ACB, en observant, pour la position de ces segments sur les lignes DE, DF, EF, que les lettres DRED aient entre elles le même ordre que les lettres BACB, les lettres DGFD le même ordre que les lettres ABCA, et les lettres EMFE le même ordre que les lettres ACBA.
(Fig. 66 & 67)
Ayant ensuite achevé les cercles de ces segments et marqué la rencontre G des deux premiers, dont les centres sont P et Q, on tirera GP et PQ, et l’on prendra Ga à AB, comme GP à PQ. Cela fait, du centre G et de l’intervalle Ga on décrira un cercle qui coupera le premier cercle DGF en a. Tirant alors aD et aE, ces deux droites couperont, l’une le second cercle DFG en b, l’autre le troisième cercle EMF en c : et l’on aura par ce moyen la figure ABCdef égale et semblable à la figure demandée abcDEF.
Pour le démontrer soit tiré Fc, et soit d’abord supposé que a soit le point où cette ligne rencontre aD, soient tirées ensuite aG, bG, QG, QD, PD. L’angle EaD étant égal par construction à l’angle CAB, et l’angle acF à l’angle ACB, le triangle anc sera équiangle au triangle ABC. Donc l’angle anc ou FnD, sera égal à l’angle ABC, et par conséquent à l’angle FbD ; donc, le point n coïncidera avec le point b ; de plus, l’angle GPQ, qui est la moitié de l’angle au centre GPD, est égal à l’angle à la circonférence GaD ; et l’angle GQP, qui est la moitié de l’angle au centre GQD, est égal au complément à deux droits de l’angle à la circonférence GbD ; donc, il est égal à l’angle Gba. De là il suit que les triangles GPQ, Gab sont semblables, et que par conséquent Ga : ab = GP : PQ ; c’est-à-dire, par la construction, = Ga : AB. Donc ab = AB ; donc les triangles abc, ABC, que nous venons de prouver semblables, sont aussi égaux. Or, comme les angles D, E, F du triangle DEF sont appliqués respectivement sur les côtés ab, ac, bc du triangle abc, on n’a plus qu’à achever la figure ABCdef, de façon qu’elle soit égale et semblable à la figure abcDEF, et le Problème sera résolu. — C.Q.F.F.
(Fig. 66 & 67)
Cor. On peut par cette méthode tirer une droite dont les parties données de longueur soient placées entre trois droites données de position. Car imaginant que le point D s’approche du côté EF, et que les côtés DE, DF deviennent le prolongement l’un de l’autre, le triangle DEF se changera en une droite, dont la partie donnée DE doit être placée entre les lignes données de position AB, AC et la partie donnée DF entre les lignes AB, BC données aussi de position ; appliquant donc la construction précédente à ce cas, on résoudra le Problème.

PROPOSITION XXVIII. — PROBLEME XX.
Décrire une trajectoire donnée d’espèce et de grandeur, dont les parties données soient placées entre trois lignes droites données de position.
(Fig. 68 & 69)
Qu’on ait à décrire une trajectoire semblable et égale à la courbe DEF, et coupée par trois lignes droites AB, AC, BC données de position, en des parties égales et semblables aux parties données DE, FE de cette courbe.
Tirez les droites DE, EF, DF, et placez par le Lemme 26 les angles D, E, F de ce triangle DEF sur ces lignes données de position, ensuite décrivez autour de ce triangle une trajectoire semblable et égale à la courbe DEF. — C.Q.F.F.

LEMME XXVII.
Décrire un trapèze donné d’espèce, dont les angles soient appliqués respectivement sur quatre lignes droites données de position, en supposant que ces quatre lignes ne soient ni toutes parallèles, ni convergentes à un seul point.
(Fig. 70 & 71)
Que les quatre droites ABC, AD, BD, CE soient données de position, la première coupant la seconde en A, la troisième en B, et la quatrième en C ; et qu’on se propose de décrire le trapèze fghi semblable au trapèze FGHI et placé en telle sorte que les quatre angles f, g, h, i, égaux respectivement aux angles F, G, H, I, soient appliqués respectivement sur les quatre lignes ABC, AD, BD, CE.
On commencera par tirer FH et par décrire sur FG, FH, FI les trois segments de cercle FSG, FTH, FVI ; donc le premier FSG soit capable d’un angle égal à l’angle BAD, le second FTH d’un angle égal à l’angle CBD, et le troisième FVI d’un angle égal à l’angle ACE, en observant pour la position de ces segments sur les lignes FG, FH, FI, que l’ordre des lettres FSGF soit le même que celui des lettres BADB, que l’ordre des lettres FTHF soit celui des lettres CBDC, et que l’ordre des lettres FVIF soit celui des ACEA.
(Fig. 70 & 71)
Ayant ensuite achevé les cercles de ces segments, et tiré la ligne indéfinie PQ, qui joint les centres P et Q des deux premiers cercles FSG, FTH, on prendra sur cette ligne la droite QR qui soit à PQ, comme BC à AB, en observant pour la position de cette ligne QR, que l’ordre des lettres P, Q, R soit le même que celui des lettres A, B, C, cela fait, du centre R et de l’intervalle RF, on décrira un quatrième cercle FNc qui coupera le troisième FVI en c, et l’on tirera Fc qui coupera le premier cercle en a, et le second en b. Menant alors les droites aG, bH, cI, on n’aura plus qu’à construire la figure ABCfghi semblable à la figure abcFGHI, et le trapèze fghi sera celui qu’il fallait construire.
Car supposant que les deux premiers cercles FSG, FTH se coupent en K, soient tirées PK, QK, RK, aK, bK, cK, et soit prolongée QP en L, les angles à la circonférence FAK, FbK, FcK étant moitié des angles FPK, FQK, FRK au centre, seront égaux aux angles LPK, LQK, LRK. Donc la figure PQRK est équiangle, et semblable à la figure abcK, ce qui donne ab : bc = PQ : QR, c’est-à-dire, = AB : BC. De plus, les angles fAg, fBh, fCi, sont égaux, par construction, aux angles FaG, FbH, FcI. Donc la figure ABCfghi est semblable à la figure abcFGHI. Donc le trapèze fghi sera semblable au trapèze FGHI, et aura ses angles f, g, h, i respectivement appuyées sur les droites ABC, AD, BD, CE. — C.Q.F.F.
(Fig. 70 & 71)
Cor. On peut mener par ce moyen une ligne droite, dont les parties soient placées suivant un ordre donné entre quatre droites données de position, et qui aient entre elles une proportion donnée. Car augmentant les angles FGH, GHI jusqu’à ce que les droites FG, GH, HI deviennent le prolongement l’une de l’autre, la construction précédente donnera la droite fghi, dont les parties fg, gh, hi, placées entre les quatre droites données de position AB et AD, AD et BD, BD, et CE, seront entre elles comme les lignes, FG, GH, HI, et garderont le même ordre entre elles. La même question peut se résoudre un peu plus vite de la manière suivante.
(Fig. 72 & 73)
Soient prolongées les droites AB et BD en K et en L, en sorte que BK : AB = HI : GH ; et DL : BD = GI : FG ; soit tiré ensuite KL, qui rencontre la droite CE en i, et soit prolongé iL en M, de sorte que LM : iL = GH : HI. Cela fait, tirant la ligne MQ parallèle à LB, et qui rencontre la droite AD en g, la ligne tirée de g à i rencontrera les lignes AB, BD en f et en h, et sera la ligne demandée.
Car en tirant AP parallèle à BD et qui rencontre iL en P, on aura gM à Lh (gi à hi, Mi à Li, GI à HI, AK à BK) et AP à BL dans la même raison. Coupant alors DL en R en sorte que DL soit à RL dans cette même raison, et marquant les points Q et S, où la droite Mg coupe les droites AB et AD, on aura, à cause des proportionnelles gS à gM, AS à AP ; et DS à DL, les proportions gS : Lh = AS : BL = DS : RL ; et BL – RL : Lh – BL = AS – DS : gS – AS, c’est-à-dire, BR : Bh = AD : Ag, et par conséquent = BD : gQ, et réciproquement BR : BD = Bh : gQ, ou = fh : fg. Mais par la construction, la ligne BL a été coupée en D et en R dans la même raison que la ligne FI en G et en H : donc BR : BD = FH : FG, donc fh : fg = FH : FG. Or, comme on a aussi gi : hi = Mi : Li, c’est-à-dire = GI : HI, il est clair que la ligne fi est coupée en g et h de la même manière que FI l’est en G et H. — C.Q.F.F.
Dans la construction de ce Corollaire, après qu’on a mené LK qui coupe CE en i, si on prolonge iE en V, en sorte qu’on ait EV : Ei = FH : HI, et qu’on tire Vf parallèle à BD, on aura également la solution du Problème. On l’aurait encore de même, si du centre i, et de l’intervalle IH on décrivait un cercle qui coupât BD en X, et qu’on prolongeât iX en Y, en sorte que iY = IF, et qu’on tirât ensuite Yf parallèle à BD.
Wren et Wallis ont donné autrefois d’autres solutions de ce Problème.

PROPOSITION XXIX. — PROBLEME XXI.
Décrire une trajectoire donnée d’espèce, qui soit coupée par quatre droites données deposition, en des parties données d’espèce, d’ordre et de proportion.
(Fig. 74 & 75)
Qu’on se propose de décrire une trajectoire semblable à la courbe FGHI, et dont les parties semblables et proportionnelles aux parties EG, GH, HI de cette courbe soient placées entre les droites AB et AD, AD et BD, BD et CE données de position, la première entre les deux premières ; la seconde entre les deux secondes, et la troisième entre les deux troisièmes. Ayant tiré les droites EG, GH, HI, FI, soit décrit par le Lemme 27 le trapèze fghi, semblable au trapèze FGHI, et dont les angles f, g, h, i soient appliqués suivant l’ordre prescrit sur les droites AB, AD, BD, CE. Cela fait, on n’aura plus qu’à décrire autour de ce trapèze une trajectoire semblable à la courbe FGHI, et le Problème sera résolu.

SCHOLIE.
(Fig. 76 & 77)
Ce Problème peut encore se construire en cette sorte. Ayant tiré EG, GH, HI, FI, prolongez GF en V, tirez FH et IG et faites les angles CAK, DAL égaux aux angles FGH, VFH. Supposant ensuite que les lignes AK, AL rencontrent la ligne BD en K et en L, tirez KM et LN, dont la première KM fasse l’angle AKM égal à l’angle GHI, et soit à AK, comme HI à GH ; et la seconde LN fasse l’angle ALN égal à l’angle FHI, et soit à AL comme HI à FH. Mais en plaçant ces lignes AK, KM, AL, LN ayez cette attention que leur situation soit telle à l’égard des lignes AD, AK, AL, que l’ordre des lettres CAKMC, ALKA, DALND soit le même que celui des lettres FGHIF.
Cela fait, tirez la ligne MN qui rencontre CE en i ; faites l’angle iEP égal à l’angle IGF, et prenez PE à Ei comme FG à GI. Tirez de plus par le point P la ligne PQF, qui fasse avec la ligne ADE, l’angle PQE égal à l’angle FIG ; et observez, pour la position de ces lignes PE et PQ par rapport aux droites CE, PE, que l’ordre des lettres PEiP, PEQP soit le même que celui des lettres FGHIF. Marquant alors le point f où PQ rencontre la ligne droite AB, on n’aura qu’à décrire sur if, comme base, la figure ifgh semblable à IFGH, et en lui circonscrivant la trajectoire donnée d’espèce, le Problème sera résolu.
Après avoir appris à trouver les orbes, il reste à déterminer les mouvements des corps dans ces orbes.

Table des matières


Planche II

Table des matières

SIXIEME SECTION

De la détermination des mouvements
dans des Orbes donnés.

PROPOSITION XXX. — PROBLÈME XXII.
Trouver pour un temps donné le lieu d’un corps qui se meut dans une trajectoire parabolique donnée.
(Fig. 78)
Soient S le foyer de la parabole, A son sommet, P le lieu cherché où le corps est arrivé en venant de A, ou bien celui d’où il faut qu’il parte pour arriver en A dans le temps donné. Soit de plus 4AS × M la surface de l’aire parabolique donnée par ce temps.
Ayant divisé la ligne AS en deux parties égales au point G et élevé perpendiculairement à AS la droite GH égale à 3M, on aura le lieu cherché P par l’intersection de la parabole et du cercle dont le centre est H, et le rayon HS. Car abaissant PO perpendiculaire sur l’axe, et tirant PH, on aura : AG2 + GH2 = = AO2 + PO2 – 2GA × AO – 2GH × PO + AG2 + GH2. D’où l’on tire 2GH × PO (= AO2 + PO2 – 2GA × AO) = AO2 + . Écrivant ensuite au lieu de AO2, divisant tous les termes par 3PO et les multipliant par 2AS, on aura : = = l’aire APO – SPO = l’aire APS. Mais à cause que GH = 3M, on a . Donc l’aire APS a pour surface la quantité donnée 4AS × M.
Cor. 1. De là on tire que GH est à AS, comme le temps pendant lequel le corps décrit l’arc AP est au temps pendant lequel il décrit l’arc compris entre le sommet A et la perpendiculaire élevée du foyer S sur l’axe.
Cor. 2. Si on imagine que le cercle ASP suive continuellement le corps P, la vitesse du point H sera à la vitesse du corps au sommet A, comme 3 à 8. Donc la ligne GH, et la ligne droite que le corps peut décrire dans le temps qu’il se meut de A vers P, avec la vitesse qu’il avait au sommet A, sont entre elles dans la même raison.
Cor. 3. Et réciproquement ; on peut trouver le temps que le corps a employé à décrire un arc quelconque AP, en tirant AP et en élevant au milieu de cette ligne une perpendiculaire qui rencontre la droite GH en H.

LEMME XXVIII.
Les parties quelconques de toute figure ovale, déterminées par les coordonnées ou par d’autres droites tirées à volonté, ne peuvent jamais être trouvées par aucune équation d’un nombre fini de termes et de dimensions.
Soit donné dans l’ovale un point quelconque autour duquel, comme pôle, tourne perpétuellement une ligne droite d’un mouvement uniforme, et soit imaginé en même temps sur cette ligne un point mobile allant toujours depuis le pôle avec une vitesse qui soit comme le carré de la partie de cette ligne renfermée dans l’ovale, ce point décrira alors une spirale composée d’une infinité de spires. Or si la portion d’aire ovale, coupée par cette droite, peut être trouvée par une équation d’un nombre fini de termes, on aura aussi, par la même équation, le rayon de la spirale qui est proportionnel à cette aire. Ainsi on pourra trouver par une équation finie tous les points d’une spirale, et par conséquent on pourra trouver aussi l’intersection d’une droite quelconque donnée de position, et d’une spirale par une équation finie ; mais toute droite prolongée infiniment coupe une spirale en une infinité de points, et toute équation qui donne l’intersection quelconque de deux lignes doit donner toutes leurs intersections par autant de racines, et doit avoir par conséquent autant de dimensions qu’il y a d’intersections. Car on sait que deux cercles se coupant en deux points, on ne peut avoir une de leurs intersections que par une équation du second degré qui donne en même temps l’autre point ; et que deux sections coniques pouvant se couper en quatre points, on ne saurait avoir une de ces intersections que par une équation du quatrième degré, qui donne en même temps les trois autres, puisque si on cherche chacune des intersections à part, le calcul fondé sur les mêmes conditions sera le même, et donnera toujours un même résultat qui renfermera toutes les intersections, et les donnera indifféremment. De même, les sections coniques et les courbes du troisième degré pouvant se couper en six points, leurs intersections se trouvent toutes à la fois par des équations de six dimensions, et les intersections de deux courbes du troisième degré pouvant être au nombre de neuf, elles se trouvent toutes en même temps par des équations de neuf dimensions. Si cela n’arrivait pas nécessairement, on pourrait réduire tous les Problèmes solides aux Problèmes plans et les sursolides aux Problèmes solides. Je parle ici des courbes dont le degré est irréductible. Car si l’équation qui exprime une courbe, peut être réduite à un degré inférieur, la courbe ne sera pas unique, mais elle sera composée de deux ou plusieurs courbes dont on peut trouver les intersections séparément par différents calculs. Les deux intersections des droites et des coniques se trouvent aussi toujours par des équations de deux dimensions, les trois intersections des droites et des courbes irréductibles du troisième degré, par des équations de trois dimensions, et les quatre intersections des droites et des courbes irréductibles du quatrième degré, par des équations de quatre dimensions, et ainsi à l’infini.
Or, la spirale étant une courbe simple et qu’on ne peut décomposer en plusieurs courbes, le nombre infini de ses intersections avec une ligne droite ne sera exprimé que par une équation d’un nombre infini de dimensions et de racines, qui donnera toutes ces intersections à la fois, puisque c’est la même loi et le même calcul pour toutes. Car si du pôle on abaisse une perpendiculaire sur la droite coupante, et que cette perpendiculaire se meuve avec la droite coupante autour du pôle, les intersections de la spirale passeront mutuellement entre elles, celle qui était la première ou la plus proche, sera après une révolution la seconde, après deux révolutions elle sera la troisième, et ainsi de suite ; et cependant l’équation ne changera point, à moins que la grandeur des quantités qui déterminent la position de la coupante ne change : or, comme ces quantités après chaque révolution retournent à leurs premières grandeurs, l’équation reviendra à sa première forme ; ainsi une seule et même équation donnera toutes les intersections, et elle aura par conséquent un nombre infini de racines qui les donneront toutes. On ne peut donc trouver d’une manière générale une intersection quelconque d’une droite et d’une spirale par une équation finie, et par conséquent il n’y a point d’ovale dont l’aire coupée par des droites à volonté puisse être exprimée par une telle équation.
En prenant le rayon de la spirale proportionnel au périmètre de l’ovale coupé, il sera aisé de prouver par le même raisonnement qu’on ne peut exprimer la longueur de ce périmètre d’une façon générale par aucune équation finie. Au reste, je parle ici des ovales qui ne sont pas touchés par des figures conjuguées qui s’étendent à l’infini.
Cor. De là on voit que l’aire elliptique décrite autour du foyer ne peut pas être exprimée dans un temps donné par une équation finie, et que par conséquent elle ne peut être déterminée par la description des courbes géométriquement rationnelles. J’appelle courbes géométriquement rationnelles, celles dont la relation entre les abscisses et les ordonnées peut être déterminée par des équations en termes finis. Les autres courbes, telles que les spirales, les quadratiques, les trochoïdes, etc. je les nomme des courbes géométriquement irrationnelles. Je vais montrer à couper l’aire elliptique proportionnellement au temps par une courbe de cette espèce.

PROPOSITION XXXI. — PROBLEME XXIII.
Trouver pour un temps donné le lieu d’un corps qui se meut dans une trajectoire elliptique donnée.
(Fig. 79)
Que A soit le sommet de l’ellipse APB, S son foyer, O son centre, et qu’il s’agisse de trouver le lieu P du corps. Prolongez OA en G, en sorte que OG : OA = OA : OS ; élevez la perpendiculaire GH, et du centre O et de l’intervalle OG décrivez le cercle GEF ; cela fait, prenant GEF pour cercle roulant, A pour point décrivant, et GH pour base, tracez la trochoïde ALI, et prenez GK qui soit à la circonférence GEFG dans la même raison que le temps pendant lequel le corps décrit l’arc AP, en partant du point A, est au temps d’une révolution dans l’ellipse. Elevez ensuite la perpendiculaire KL qui rencontre la trochoïde en L, et vous aurez, en menant LP parallèle à KG, le lieu cherché P.
Pour le démontrer, soit décrit sur le diamètre AB le demi-cercle AQB, et soient tirées du point Q, où la droite PL rencontre ce demi cercle, les droites QS, QO aux points O et S ; soit de plus prolongé OQ jusqu’à ce qu’elle rencontre l’arc EFG en F, et abaissez sur cette droite OQ la perpendiculaire SR ; il est clair, à cause que l’aire APS est proportionnelle à l’aire AQS, c’est-à-dire à la différence entre le secteur OQA et le triangle OQS, ou à la différence des rectangles OQ × AQ, et OQ × SR, ou (ce qui revient au même OQ, étant donné) à la différence entre l’arc AQ et la droite SR, ou bien encore (à cause que les raisons de SR au sinus de l’arc AQ, de OS à OA, de OA à OG, de AQ à GF, et par conséquent de AQ – SR à GF – le sinus de l’arc AQ, sont égales et données) à la droite GK différence entre GF et le sinus de l’arc AQ. — C.Q.F.D.

SCHOLIE.
(Fig. 80)
Au reste, comme la description de cette courbe est difficile, il vaut mieux employer une solution approchée. On commencera par trouver un angle B qui soit à l’angle de 57,29578 degrés que soustend un arc égal au rayon, comme la distance SH des foyers est au diamètre AB de l’ellipse ; et une longueur quelconque L qui soit au rayon dans la même raison inverse ; ce qui étant trouvé, le Problème se construira ensuite par l’analyse suivante.
(Fig. 82)
Ayant trouvé par une méthode ou par une estime quelconque, un lieu P voisin du vrai lieu cherché p, et ayant tiré l’ordonnée PR à l’axe de l’ellipse, la proportion des diamètres de l’ellipse donnera l’ordonnée RQ du cercle circonscrit AQB, laquelle est le sinus de l’angle AOQ pour le rayon AO, et coupe l’ellipse au point P. Il suffit de trouver cet angle en nombres approchés par un calcul grossier. Il faut connaître aussi l’angle proportionnel au temps, c’est-à-dire, l’angle qui est à quatre droits, comme le temps pendant lequel le corps décrit l’arc Ap est au temps d’une révolution dans l’ellipse. N étant cet angle, on prendra l’angle D à l’angle B, comme le sinus de l’angle AOQ est au rayon, et l’angle E à l’angle N – AOQ + D, comme la longueur L est à cette même longueur L diminuée du cosinus de l’angle AOQ, lorsque cet angle est moindre qu’un droit, et augmentée de ce même cosinus lorsqu’il est plus grand. On prendra ensuite l’angle F à l’angle B, comme le sinus de l’angle AOQ + E au rayon, et l’angle G à l’angle N – AOQ – E + F, comme la longueur L est à cette même longueur L, diminuée du cosinus de l’angle AOQ + E lorsque cet angle est moindre qu’un droit, et augmentée de ce même cosinus lorsqu’il est plus grand. On continuera de même à prendre l’angle H à l’angle B, comme le sinus de l’angle AOQ + F + G au rayon ; et l’angle I à l’angle N – AOQ – F – G + H, comme la longueur L est à cette même longueur L diminuée du cosinus de l’angle AOQ + E + G lorsque cet angle est moindre qu’un droit, et augmentée de ce même cosinus lorsqu’il est plus grand, et l’opération pourra être continuée à l’infini. Enfin prenant l’angle AOq égal à l’angle AOQ + E + G +I + etc., le cosinus Or de cet angle, et l’ordonnée Pr qui est au sinus qr comme le petit axe de l’ellipse est au grand, donneront le lieu corrigé p.
(Fig. 76)
Lorsque l’angle N – AOQ + D est négatif, le signe + de E doit partout se changer en – et son signe – en +. Il en est de même des signes de G et de I, lorsque les angles N – AOQ – E + F, et N – AOQ – E – G + H deviennent négatifs.
Il est à remarquer que la suite infinie AOQ + E + Q + I + etc. converge si vite, qu’il n’est presque jamais besoin d’aller au-delà du second terme E ; le calcul que je viens de donner est fondé sur ce Théorème, que l’aire APS est comme la différence entre l’arc AQ et la droite tirée du foyer S perpendiculairement sur le rayon OQ.
(Fig. 81)
On résout le même Problème pour l’hyperbole par un calcul à peu près semblable. O étant son centre, A son sommet, S son foyer, et OK son asymptote : on commencera par connaître la quantité de l’aire à retrancher proportionnelle au temps, et par tirer la droite SP qu’on estime pouvoir retrancher l’aire APS approchante de l’aire demandée. On tirera ensuite OP, et des points A et F on mènera les parallèles AI, PK à l’autre asymptote. Cela fait, par la table des Logarithmes, on aura l’aire AIKP, ainsi que l’aire OPA qui lui est égale, laquelle étant retranchée du triangle OPS laissera l’aire APS. Divisant par la ligne SN, tirée perpendiculairement du foyer S sur la tangente TP, la double différence 2APS – 2A ou 2A – 2APS de l’aire A à retrancher et de l’aire APS retranchée, on aura la longueur de la corde PQ. Plaçant ensuite cette corde PQ entre A et P si l’aire retranchée APS est plus grande que l’aire A qu’il faut retrancher, ou du côté opposé si elle est plus petite, le point Q sera un lieu plus approché du vrai, et en répétant la même opération on en approchera de plus en plus à l’infini.
Ainsi par ces calculs on résout le Problème analytiquement et généralement, mais la méthode particulière qui suit est plus propre aux usages astronomiques.
(Fig. 82)
AO, OB, OD étant les demi-axes de l’ellipse, L son paramètre et D la différence entre la moitié OD du petit axe, et la moitié ½L du paramètre ; cherchez l’angle Y, dont le sinus soit au rayon, comme le rectangle, sous cette différence D et la moitié AO + OD de la somme des axes, est au carré du grand axe AB ; cherchez aussi l’angle Z dont le sinus soit au rayon, comme le double rectangle, sous la distance SH des foyers, et cette différence D, est au triple carré de la moitié AO du grand axe. Ces angles étant une fois trouvés, vous aurez ainsi le lieu cherché.
(Fig. 81 et 82)
Prenez l’angle T proportionnel au temps pendant lequel l’arc BP est décrit, ou, pour parler comme les Astronomes, égal au mouvement moyen. Prenez de plus l’angle V, première équation du mouvement moyen, à l’angle Y, première plus grande équation, comme le sinus du double de l’angle T est au rayon ; et l’angle X, seconde équation, à l’angle Z, seconde plus grande équation, comme le cube du sinus de l’angle T au cube du rayon. Cela fait, prenez l’angle BHP du mouvement moyen corrigé, égal, ou à la somme T + X + V des angles T, V, X, si l’angle T est plus petit qu’un droit, ou à la différence T + X – V, si cet angle est plus grand qu’un droit, et moindre que deux droits. Enfin tirez SP au point P où HP rencontre l’ellipse, et l’aire BSP sera à très peu de chose près proportionnelle au temps.
Cette construction est assez courte, parce qu’en se contentant des deux ou trois premiers chiffres, lorsqu’on détermine les petits angles V et X, qu’on peut, si on veut, ne prendre qu’en secondes, on a une solution du Problème aussi exacte qu’il est nécessaire pour la théorie des planètes ; car dans l’orbe de Mars même, dont la plus grande équation du centre est de dix degrés, l’erreur passerait à peine à une seconde.
Au reste, connaissant l’angle BHP du mouvement moyen corrigé ; l’angle BSP du mouvement vrai, et la distance SP sont aisés à trouver par une méthode très connue.
Jusqu’ici j’ai examiné le mouvement des corps dans des lignes courbes, mais il se peut faire que le mobile monte ou descende dans une ligne droite. Je vais donc expliquer ce qui a rapport à cette sorte de mouvement.